Startseite → Matherätsel → Der Mammutbaum → Lösung

Lösung: Der Mammutbaum

Rätsel einblenden

Lösung

In der 1. Nacht schafft der Käfer 10/10000 des Baumstamms. In der 2. Nacht schafft er 10/10020 des Baumstamms. In der 3. Nacht schafft er 10/10040 des Baumstamms. Er hat die Spitze erreicht, wenn die Summe der Streckenanteile 1 erreicht. Nun hat man mehrere Möglichkeiten, das herauszufinden.

Ausblenden

  1. Man fasst die Summe als harmonische Reihe auf und verwendet eine Näherungsformel für diese:

    \frac{1}{1000}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1004}+\ldots+\frac{1}{2n}\geq{1}

    \frac{1}{500}+\frac{1}{501}+\frac{1}{502}+\ldots+\frac{1}{n}\geq{2}

    \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_1^{499}\frac{1}{k}\geq{2}

    Für diese harmonische Reihe kann man folgende Näherungsformel (Quelle: Wikipedia) verwenden:

    \ln(n)+\gamma-(\ln(499)-\gamma)=\ln\left(\frac{n}{499}\right)\geq{2}

    n\geq{499}e^2

    Damit ergibt sich für n ein Wert von ca. 3688, d.h. der Käfer benötigt für seine Reise etwa 3688-499 = 3189 Nächte.

  2. Man verwendet ein Programm wie dieses PHP-Skript zur Lösungsfindung:

    PHP-Code
    1. <?php

    3. /* In dm */
    4. $treeHeight = 1000;

    6. /* Number of the night */
    7. $night = 0;

    9. /* Percentage of the tree the bug has already climed */
    10. $bugPosition = 0;

    12. do {
    13.   $night++;
    14.   $bugPosition += 1 / $treeHeight;
    15.   $treeHeight += 2;
    16. } while ($bugPosition < 1);

    18. echo 'Der Käfer erreicht sein Ziel in der ' . $night . '. Nacht';

    20. ?>

    Dieses liefert als Ergebnis, dass der Käfer 3192 Nächte braucht. Genau genommen kommt er irgendwann in der 3192. Nacht an der Spitze des Baums an.