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Lösung: Der Mammutbaum

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Lösung

In der 1. Nacht schafft der Käfer 10/10000 des Baumstamms. In der 2. Nacht schafft er 10/10020 des Baumstamms. In der 3. Nacht schafft er 10/10040 des Baumstamms. Er hat die Spitze erreicht, wenn die Summe der Streckenanteile 1 erreicht. Nun hat man mehrere Möglichkeiten, das herauszufinden.

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  1. Man fasst die Summe als harmonische Reihe auf und verwendet eine Näherungsformel für diese:

    \frac{1}{1000}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1004}+\ldots+\frac{1}{2n}\geq{1}

    \frac{1}{500}+\frac{1}{501}+\frac{1}{502}+\ldots+\frac{1}{n}\geq{2}

    \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_1^{499}\frac{1}{k}\geq{2}

    Für diese harmonische Reihe kann man folgende Näherungsformel (Quelle: Wikipedia) verwenden:

    \ln(n)+\gamma-(\ln(499)-\gamma)=\ln\left(\frac{n}{499}\right)\geq{2}

    n\geq{499}e^2

    Damit ergibt sich für n ein Wert von ca. 3688, d.h. der Käfer benötigt für seine Reise etwa 3688-499 = 3189 Nächte.

  2. Man verwendet ein Programm wie dieses PHP-Skript zur Lösungsfindung:

    1. <?php
    2. $baum = 1000;
    3. $nacht = 0;

    4. do {
    5.   $nacht++;
    6.   $kaefer += 1 / $baum;
    7.   $baum += 2;
    8. } while ($kaefer < 1);

    9. echo 'Der Käfer erreicht sein Ziel in der ' . $nacht . '. Nacht';

    10. ?>

    Dieses liefert als Ergebnis, dass der Käfer 3192 Nächte braucht. Genau genommen kommt er irgendwann in der 3192. Nacht an der Spitze des Baums an.