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Satz des Thales – Beweis

Teilt man das Dreieck im Thaleskreis durch die Strecke MC, so erhält man die beiden gleichschenkligen Dreiecke MCA und MBC mit der Schenkellänge r:

Thaleskreis - durch Strecke MC geteilt

Da die Dreiecke gleichschenklig sind, sind die Basiswinkel gleich groß. Folglich wird γ in α und β aufgeteilt. Es gilt also:

\gamma=\alpha+\beta

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Am Mittelpunkt des Thaleskreises M entstehen zwei neue Winkel. Ich habe sie δ und ε genannt. Aufgrund der Winkelsumme von 180° in einem Dreieck gilt:

\delta=180^\circ-2\alpha

\varepsilon=180^\circ-2\beta

δ und ε sind Supplementwinkel (d.h. sie ergänzen sich zu 180°). Folglich gilt:

\delta+\varepsilon=180^\circ

Setzt man nun die obigen Terme für δ und ε ein, so erhält man folgende Beziehung zwischen α und β:

180^\circ-2\alpha+180^\circ-2\beta=180^\circ

\Leftrightarrow360^\circ-2(\alpha+\beta)=180^\circ

\Leftrightarrow{2}(\alpha+\beta)=180^\circ

\Leftrightarrow\alpha+\beta=90^\circ

Da, wie bereits gezeigt, γ die Summe aus α und β ist, gilt:

\gamma=90^\circ

Der Satz des Thales ist damit bewiesen - oder wie es der Mathematiker so schön ausdrückt:

q.e.d.

(steht für: "quod erat demonstrandum" = "was zu beweisen war")