Startseite → Die Strahlensätze → Beweis des zweiten Strahlensatzes

Beweis des zweiten Strahlensatzes

Erweitere die gegebene Strahlensatzfigur um die Parallele durch den Punkt A zur Geraden durch S und B. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Geraden durch A' und B' sei C. Es entsteht eine Strahlensatzfigur, bei der sich die Strahlen in A' schneiden:

Skizze zum Beweis

Ausblenden

Nach dem ersten Strahlensatz gelten für diese Strahlensatzfigur

\frac{|A'A|}{|SA'|}=\frac{|A'C|}{|A'B'|}

sowie

\frac{|A'A|}{|SA|}=\frac{|A'C|}{|CB'|}.

Division der ersten durch die zweite Gleichung ergibt:

\frac{|SA|}{|SA'|}=\frac{|CB'|}{|A'B'|}.

Wegen

|CB'|=|AB|

gilt die erste Formel des zweiten Strahlensatzes:

\frac{|SA|}{|SA'|}=\frac{|AB|}{|A'B'|}.

Die zweite Formel des zweiten Strahlensatzes erhält man, wenn man analog die Parallele durch den Punkt B zur Geraden durch die Punkte S und A betrachtet.