Beweis des ersten Strahlensatzes

Erweitere die gegebene Strahlensatzfigur um die Strecken AB' sowie A'B:

Skizze zum Beweis

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Die Dreiecke ΔABA' und ΔABB' besitzen zur gemeinsamen Grundseite AB die gleiche Höhe (gestrichelte Linien). Sie haben also die gleiche Fläche, die ich hier mit dem Betrag der Dreiecke bezeichne:

${\color{blue}|{\Delta}ABA'|}={\color{red}|{\Delta}ABB'|}$

Dann kann man aber auch auf beiden Seiten dieser Gleichung die Fläche des Dreiecks ΔSBA dazuaddieren:

${\color{blue}|{\Delta}ABA'|}+{\color{darkgreen}|{\Delta}SBA|}={\color{red}|{\Delta}ABB'|}+{\color{darkgreen}|{\Delta}SBA|}$

Das entspricht genau den Flächen der beiden größeren Dreiecke ΔSBA' und ΔSB'A:

$|{\Delta}SBA'|=|{\Delta}SB'A|$

Also gilt offensichtlich auch:

$\frac{\color{darkgreen}|{\Delta}SBA|}{|{\Delta}SBA'|}=\frac{\color{darkgreen}|{\Delta}SBA|}{|{\Delta}SB'A|}$

Die Fläche eines Dreiecks ist genau die Hälfte des Produktes aus einer Grundseite und der zugehörigen Höhe. Als Höhen dienen hier die gepunkteten Linien. Damit ergibt sich:

$\frac{\color{darkgreen}\frac{1}{2}{\cdot}|SA|{\cdot}|BC|}{\frac{1}{2}{\cdot}|SA'|{\cdot}|BC|}=\frac{\color{darkgreen}\frac{1}{2}{\cdot}|SB|{\cdot}|AD|}{\frac{1}{2}{\cdot}|SB'|{\cdot}|AD|}$

Durch Kürzen ergibt sich die erste Formel des ersten Strahlensatzes:

$\frac{|SA|}{|SA'|}=\frac{|SB|}{|SB'|}$

Außerdem gilt offensichtlich nach den hergeleiteten Formeln:

$\frac{\color{darkgreen}|{\Delta}SBA|}{\color{blue}|{\Delta}ABA'|}=\frac{\color{darkgreen}|{\Delta}SBA|}{\color{red}|{\Delta}ABB'|}$

Die Flächen kann man wieder berechnen:

$\frac{\color{darkgreen}\frac{1}{2}{\cdot}|SA|{\cdot}|BC|}{\color{blue}\frac{1}{2}{\cdot}|AA'|{\cdot}|BC|}=\frac{\color{darkgreen}\frac{1}{2}{\cdot}|SB|{\cdot}|AD|}{\color{red}\frac{1}{2}{\cdot}|BB'|{\cdot}|AD|}$

Erneutes Kürzen liefert die zweite Formel des ersten Strahlensatzes:

$\frac{|SA|}{|AA'|}=\frac{|SB|}{|BB'|}$