Vom Sechseck zum Zwölfeck

Der Vorteil des Sechsecks liegt darin, dass man die Länge der sechs Kanten kennt. Sie entsprechen dem Radius des Kreises. Nun kann man die Seitenanzahl verdoppeln um dem Umfang des Kreises näher zu kommen. Man erhält also ein Zwölfeck.

Sechseck -> Zwölfeck

Die Länge einer Kante des Zwölfecks s kann man durch den Kreisradius ausdrücken:

$s=\sqrt{\left(\frac{r}{2}\right)^2+\left(r-\sqrt{r^2-\frac{r^2}{4}}\right)^2}$

Dieser Ausdruck lässt sich durch den Satz den Pythagoras herleiten:

$s^2=\left(\frac{r}{2}\right)^2+x^2$

x lässt sich ebenfalls durch den Satz den Pythagoras berechnen, x ist nämlich die Differenz aus dem Radius und der gestrichelten Strecke:

$x=r-\sqrt{r^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2}$

Setzt man die beiden Formeln zusammen erhält man die Funktion für s in Abhängigkeit von r.

Der Umfang des Zwölfecks ist wieder ein Näherungswert für den Kreisumfang:

$U_{\text{Kreis}}\approx{U_{\text{Zwoelfeck}}}\Rightarrow{2\,\pi}\,r\approx{12\,s}$

Durch diesen Schritt erhält man für Pi den Näherungswert 3,106.