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Lösung: Spinnennetz

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Lösung

Um dieses Rätsel zu lösen, nutzen wir folgende Bezeichnungen:

Skizze zum Lösen des Rätsels

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Die Strecke h teilt die Strecke b in zwei Teile, die mit p und q bezeichnet wurden. Damit gilt:

p=b-q{\quad}\text{\color{red}(I)}

Nach dem zweiten Strahlensatz gilt:

\frac{a}{h}=\frac{b}{q}

{\Leftrightarrow}{\quad}q=\frac{b\,h}{a}{\quad}\text{\color{blue}(II)}

Ebenfalls nach dem zweiten Strahlensatz gilt:

\frac{c}{h}=\frac{b}{p}

{\Leftrightarrow}{\quad}c=\frac{b\,h}{p}

Gleichung (I) einsetzen:

c=\frac{b\,h}{b-q}

Gleichung (II) einsetzen:

c=\frac{b\,h}{b-\frac{b\,h}{a}}

{\Leftrightarrow}{\quad}c=\frac{a\,h}{a-h}{\quad}\text{\color{green}(III)}

Nach dem Satz des Pythagoras gelten die beiden Gleichungen:

b^2+c^2=x^2

a^2+b^2=y^2

Stellen wir beide Gleichungen nach b2 um und setzen sie gleich, so erhalten wir:

x^2-c^2=y^2-a^2

Setzen wir Gleichung (III) ein, so ergibt sich:

x^2-\left(\frac{a\,h}{a-h}\right)^2=y^2-a^2

{\Leftrightarrow}{\quad}a^2+x^2-y^2=\frac{a^2\,h^2}{\left(a-h\right)^2}

{\Leftrightarrow}{\quad}\left(a^2+x^2-y^2\right)\left(a-h\right)^2=a^2\,h^2

{\Leftrightarrow}{\quad}\left(a^2+x^2-y^2\right)\left(a-h\right)^2-a^2\,h^2=0

Setzen wir die Werte h = 35, x = 87 und y = 105 ein, so erhalten wir:

\left(a^2-3456\right)\left(a-35\right)^2-1225\,a^2=0

Diese Gleichung vierten Grades lässt sich nicht durch Äquivalenzumformungen lösen, wir müssen also ein numerisches Lösungsverfahren verwenden. Die erwartete Lösung für a liegt zwischen 0 und 105 (Länge des längeren Fadens). Um die Anzahl der möglichen Lösungen zu ermitteln, betrachten wir zunächst die Funktion, die die linke Seite unserer Gleichung beschreibt:

f(a)=\left(a^2-3456\right)\left(a-35\right)^2-1225\,a^2

Die Nullstellen dieser Funktion entsprechen den Lösungen der Gleichung. Eine Zeichnung der Funktion liefert uns einen ersten Anhaltspunkt über mögliche Lösungen.

Plot der Funktion

Dieser Zeichnung ist zu entnehmen, dass wir nur eine einzige Lösung zwischen 80 und 90 zu erwarten haben. Die Anwendung eines numerischen Lösungsverfahrens liefert uns die Lösung a = 84. Damit ist das Loch, in das die Spinne ihr Netz baut, mindestens 84 mm hoch.

Um die genaue Breite der Öffnung heraus zu bekommen, verwenden wir noch einmal den Satz des Pythagoras:

a^2+b^2=y^2

{\Rightarrow}{\quad}b=\sqrt{y^2-a^2}

Mit y = 105 und a = 84 erhalten wir b = 63. Das Loch im Zaun ist also genau 63 mm breit.