Lösung: Die geerbte Rinderherde

Lösung

Ist x die Anzahl der Rinder, die verkauft wurden, dann bekommen die beiden Schwestern (umgerechnet) insgesamt x² Silbermünzen. Sicherlich können wir x schreiben als

$x=10\,a+b$

wobei a und b natürliche Zahlen sind und b < 10. Dann ist der Betrag, den die beiden bekommen, in Silbermünzen umgerechnet:

$x^2=(10\,a+b)^2=100\,a^2+20\,a\,b+b^2$

Da Margarete die letzte Goldmünze bekommt, gibt es ungerade viele Goldmünzen und da sich Anna über die Anzahl der Silbermünzen beschwert, müssen es weniger als 10 Silbermünzen gewesen sein (sonst hätte sie ja mehr als Margarete).

Das heißt: Die Zehnerstelle von x² muss ungerade sein und für den Betrag, den Anna weniger bekommt als Margarete ist die Einerstelle von x² relevant.

$100\,a^2+20\,a\,b$

hat eine gerade Zehnerstelle und liefert außerdem keinen Beitrag zur Einerstelle von x². Deshalb genügt es, b² zu betrachten:

b	b²
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81

Lediglich die Quadratzahlen 16 und 36 haben ungerade Zehnerstellen. Die Einerstelle ist in beiden Fällen die 6. Das heißt nichts anderes, als dass Anna 6 Silbermünzen bekommen hat. Damit hat sie (umgerechnet) 4 Silbermünzen weniger als Margarete.

Um das auszugleichen muss Margaretes Brosche also 2 Silbermünzen wert sein.

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