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Lösung: Die Leiter und die Kisten

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Lösung

Es sei y die Höhe, in der die Leiter die Wand berührt und x der Abstand, den die Leiter am unteren Ende von der Wand hat. Der maximale Wert für y ergibt sich, wenn die Leiter die Kisten an einer Ecke berührt:

Skizze

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Aus dem Satz des Pythagoras folgt (I):

x^2+y^2=16

Oder umgeformt (II):

(x+y)^2-2\,x\,y=16

Ein zweiter Ansatz ergibt sich aus dem 2. Strahlensatz:

\frac{x-1}{1}=\frac{1}{y-1}

Oder umgeformt (III):

x\,y=x+y

Setzt man (III) nun in (I) ein, so erhält man:

(x+y)^2+2\,(x+y)=16

Daraus ergibt sich nach quadratischer Ergänzung oder p-q-Formel für x + y:

x+y=1\pm\sqrt{17}

Da x und y positive Zahlen sind, kann man die negative Lösung ignorieren. Aus (III) folgt nun:

x=\frac{1+\sqrt{17}}{y}

Setzt man diesen Ausdruck nun in (I) ein, so erhält man:

\frac{(1+\sqrt{17})^2}{y^2}+y^2=16

Oder nach quadratischer Ergänzung:

(y^2-8)^2=46-2\,\sqrt{17}

Daraus ergibt sich für y2:

y^2=8\pm\sqrt{46-2\sqrt{17}}

Und für y:

y=\pm\sqrt{8\pm\sqrt{46-2\sqrt{17}}}

Da y maximal sein soll, gelten jeweils die positiven Wurzeln. Folglich beträgt y maximal ca. 3,76 m.