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Lösung: Die fallende Leiter

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Lösung

Die Leiter bildet zu jedem Zeitpunkt zusammen mit der Ecke des Raums ein rechtwinkliges Dreieck. Nach dem Satz des Thales liegt die Ecke des Raums auf einem Halbkreis, dessen Durchmesser die Leiter ist (in der Skizze rot markiert). Der Radius r des Thaleskreises beträgt die Hälfte der Länge der Leiter. Der Bleistift befindet sich in der Mitte der Leiter und damit auch im Mittelpunkt des Thaleskreises. Damit hat er aber zu jedem Zeitpunkt den Abstand r zur Ecke des Raums (in der Skizze gestrichelt dargestellt). Umgekehrt: Alle Punkte mit dem gleichen Abstand zur Ecke des Raums befinden sich auf einem Kreis (in der Skizze grün markiert). Der Bleistift hinterlässt also einen Strich in Form eines (Viertel)Kreises auf der Wand.

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Thaleskreis

Alternative Lösung

Wir zeichnen die Leiter in ein Koordinatensystem:

Koordinatensystem mit Leiter

Die Leiter bekommt also eine Funktionsgleichung in der Form f(x) = m·x+b zugewiesen. Die Schnittpunkte mit den Achsen liegen bei (0|b) und (-b/m|0).

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Die Leiter habe die Länge l. Aufgrund des Satzes des Pythagoras ergibt sich also:

b^2+\left(-\frac{b}{m}\right)^2=l^2

b=\frac{l}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}}

Setzt man dieses b nun in die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion ein, so erhält man die Gleichung der Funktionsschar der fallenden Leiter in Abhängigkeit von m und l:

f_{l,m}(x)=m\,x+\frac{l}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}}

Der Mittelpunkt der Leiter liegt genau auf der Hälfte der Strecke zwischen den Schnittpunkten der Leitergeraden mit den Achsen. Folglich lassen sich die Koordinaten des Leitermittelpunkts bestimmen:

x_M=\frac{-\frac{b}{m}}{2}=-\frac{\frac{l}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}}

y_M=\frac{b}{2}=\frac{\frac{l}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}}

Stellt man die Gleichung für xM nun nach m um und setzt dieses m in die Gleichung von yM ein, so erhält man die Ortsfunktion des Mittelpunkts der Leiter yM(x):

m=\sqrt{\frac{l^2}{4\,x_l^2}-1}

y_M=\frac{l}{2\,\sqrt{1+\frac{1}{\frac{l^2}{4\,x_l^2}-1}}}=\sqrt{\frac{l^2}{4}-x_l^2}

Diese Ortsfunktion ist eine Kreisfunktion, d.h. der Bleistift hinterlässt einen Strich in Form eines (Viertel)Kreises auf der Wand:

Leitern mit Ortskurve