Lösung: Das angebundene Schaf

Lösung

Wir nennen die Länge der Leine R. Die beiden Kreise schneiden sich in den Punkten S₁ und S₂. Die dadurch entstehende Sehne der Kreise nennen wir s. Außerdem seien α und β die Winkel zwischen der Geraden, auf der die beiden Kreismittelpunkte liegen und der Geraden auf der je ein Kreismittelpunkt (M₁, M₂) und ein Schnittpunkt (S₁, S₂) liegen.

Da die Dreiecke ΔM₁M₂S₁ und ΔM₁S₂M₂ gleichschenklig sind, finden wir an den Punkten S₁ und S₂ den Winkel α wieder.

Die Fläche des roten Kreises beträgt:

$A=\pi$

Die Schnittfläche der beiden Kreise muss halb so groß sein. Die Schnittfläche besteht aus zwei Kreissegmenten, die durch s getrennt sind. Daraus ergibt sich folgender Ansatz:

$\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}\,\left(2\,\beta-\sin\left(2\,\beta\right)\right)+\frac{R^2}{2}\,\left(2\,\alpha-\sin\left(2\,\alpha\right)\right)$

$\Leftrightarrow\pi=2\,\beta-\sin\left(2\,\beta\right)+R^2\,\left(2\,\alpha-\sin\left(2\,\alpha\right)\right)$

Dabei sind α und β im Bogenmaß. Da die Winkelsumme im Dreieck π beträgt, gilt für das Dreieck ΔM₁M₂S₁:

$2\,\alpha+\beta=\pi$

$\Leftrightarrow\,{2}\alpha=\pi-\beta$

Einsetzen:

$\pi=2\,\beta-\sin\left(2\,\beta\right)+R^2\,\left(\pi-\beta-\sin\left(\pi-\beta\right)\right)$

Wegen

$\sin(\pi-x)=\sin(x)$

ist dies äquivalent zu:

$\pi=2\,\beta-\sin\left(2\,\beta\right)+R^2\,\left(\pi-\beta-\sin\left(\beta\right)\right)$

Aus dem Kosinussatz für das Dreieck ΔM₁M₂S₁ folgt:

$R^2=2-2\,\cos\left(\beta\right)$

Einsetzen:

$\pi=2\,\beta-\sin\left(2\,\beta\right)+\left(2-2\,\cos\left(\beta\right)\right)\,\left(\pi-\beta-\sin\left(\beta\right)\right)$

$\Leftrightarrow\pi=2\,\beta-\sin\left(2\,\beta\right)+2\,\pi-2\,\beta-2\,\sin\left(\beta\right)-2\,\left(\pi-\beta\right)\,\cos\left(\beta\right)+2\,\sin\left(\beta\right)\,\cos\left(\beta\right)$

$\Leftrightarrow-\pi=-\sin\left(2\,\beta\right)-2\,\sin\left(\beta\right)-2\,\left(\pi-\beta\right)\,\cos\left(\beta\right)+2\,\sin\left(\beta\right)\,\cos\left(\beta\right)$

Wegen

$\sin(x)\,\cos(x)=\frac{1}{2}\left(\sin(x-y)+\sin(x+y)\right)$

ist dies äquivalent zu:

$-\pi=-2\,\sin\left(\beta\right)-2\,\left(\pi-\beta\right)\,\cos\left(\beta\right)$

$\Leftrightarrow\pi=2\,\sin\left(\beta\right)+2\,\left(\pi-\beta\right)\,\cos\left(\beta\right)$

Diese Gleichung ist nicht algebraisch lösbar. Ein numerisches Lösungsverfahren liefert:

$\beta\approx{1,2358969}$

Damit ist die Lösung des Rätsels:

$R=\sqrt{2-2\,\cos\left(\beta\right)}\approx{1,159}\,\text{km}$

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