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Kuriose Beweise

Wer bisher nicht geglaubt hat, dass 1 = 2 ist, der möge sich nun die folgenden Beweise ansehen:

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  1. Bekannt sein sollte, dass gilt:

    1+2=3

    Es sei im Folgenden: a = 1, b = 2 und c = 3. Daraus ergibt sich:

    a+b=c

    Multipliziert man diesen Term mit (a-b), so ergibt sich:

    (a+b)\,(a-b)=c\,(a-b)

    Auf der linken Seite steht die 3. Binomische Formel, die rechte Seite wird einfach aus multipliziert:

    a^2-b^2=a\,c-b\,c

    Bringt man nun alle Teile, die a enthalten auf die linke Seite und alle, die b enthalten auf die rechte, so ergibt sich:

    a^2-a\,c=b^2-b\,c

    Nun addiert man (a·b) zu diesem Ausdruck:

    a^2+a\,b-a\,c=b^2+a\,b-b\,c

    Auf der linken Seite kann man nun a ausklammern, auf der rechten b:

    a\,(a+b-c)=b\,(a+b-c)

    Teilt man nun durch (a+b-c), so ergibt sich:

    a=b

    Da a = 1 und b = 2 ist, ergibt sich:

    1=2

    q.e.d.

  2. Wem dieser erste Beweis nicht genügt hat, der möge sich bitte auch diesen zweiten Beweis ansehen. Bekannt ist, dass:

    1+2=3

    Nun ersetzt man wieder 1 durch a, 2 durch b und 3 durch c:

    a+b=c

    Erneut multipliziert man mit (a-b) ...

    (a+b)\,(a-b)=c\,(a-b)

    ... löst die Klammern auf ...

    a^2-b^2=a\,c-b\,c

    ... und ordnet nach Teilen mit a bzw. b:

    a^2-a\,c=b^2-b\,c

    Nun ergänzt man (c/2)2 (quadratische Ergänzung):

    a^2-a\,c+\left(\frac{c}{2}\right)^2=b^2-b\,c+\left(\frac{c}{2}\right)^2

    Das ergibt aufgrund der 2. Binomischen Formel:

    \left(a-\frac{c}{2}\right)^2=\left(b-\frac{c}{2}\right)^2

    Zieht man die Wurzel, so ergibt sich:

    a-\frac{c}{2}=b-\frac{c}{2}

    Addiert man (c/2), so erhält man:

    a=b

    Da a = 1 und b = 2 ist, ergibt sich:

    1=2

    q.e.d.

Kann man den Beweisen Glauben schenken? Wohl kaum! Erklären Sie, warum nicht!