Lösung: Das Seil um den Äquator

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Lösung

Lösen kann man dieses Rätsel mit der Formel für den Umfang eines (perfekten) Kreises.
$U_{\text{Kreis}}=2 \, \pi \, {r}$

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Zuerst liegt das Seil mit einem Umfang von 40000 km um der Erde:
$2 \, \pi \, {r_1}=40000000 \, \text{m}$
Daraus folgt:
$r_1=\frac{40000000 \, \text{m}}{2 \, \pi}$
Genauso kann man den zweiten Radius berechnen:
$2 \, \pi \, {r_2}=40000001 \, \text{m}$
$r_2=\frac{40000001 \, \text{m}}{2 \, \pi}$
Der Abstand zwischen Erdboden und Seil ergibt sich aus der Differenz der beiden Radien:
$r_2-r_1=\frac{40000001 \, \text{m}}{2 \, \pi}-\frac{40000000 \, \text{m}}{2 \, \pi}=\frac{0,5 \, \text{m}}{\pi}\approx{0,159 \, \text{m}}$
Dieses Ergebnis entspricht ca. 16 cm. Da kann eine Maus problemlos auf den Hinterbeinen durchlaufen!
Die Länge des Seils besteht nun aus einem Kreisbogen und zwei Strecken. Die beiden Strecken sind Teile von Tangenten an den Kreis und liegen deshalb senkrecht zu den eingezeichneten Radien.
Mit den eingezeichneten Winkeln x kann man die Länge des Seils folgendermaßen ausdrücken:
$40000001 \, \text{m}=\underbrace{2 \, \pi \, {r}\cdot\frac{2 \, \pi-2 \, x}{2 \, \pi}}_{\text{Kreisbogen}}+2 \cdot \underbrace{r \, \tan(x)}_{\text{eine \, Strecke}}$
Dabei ist:
$r = \frac{40000000 \, \text{m}}{2 \, \pi} \approx 6366198 \, \text{m}$
Eingesetzt:
$40000001 \, \text{m} = 40000000 \, \text{m} \cdot \frac{\pi - x}{\pi} + \frac{40000000 \, \text{m}}{\pi} \cdot \tan(x)$
Dieser Term lässt sich nicht algebraisch lösen. Numerisch ergibt sich x = 0,00618 (x im Bogenmaß). Über den Kosinus kann man nun den maximalen Abstand Erde-Seil (h) berechnen:
$\cos(x) = \frac{r}{r + h} = \frac{1}{1 + \frac{2 \, \pi \, h}{40000000 \, \text{m}}}$
${\Leftrightarrow} {\quad} h = \frac{40000000 \, \text{m}}{2 \, \pi} \cdot \left( \frac{1}{\cos(x)} - 1 \right)$
Der maximale Abstand zwischen Seil und Erdboden beträgt also 121,5 Meter!

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