Lösung: Die Superzahl

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Lösung

Aus den Ziffern von 0-9 kann man 10! = 3.628.800 verschiedene Zahlen bilden. Nur eine davon erfüllt auch die zweite Bedingung. Um diese zu finden muss man nicht alle Zahlen durchprobieren, denn es ist durchaus möglich, die gesuchte Zahl einzugrenzen. Grundlage dafür sind einige mathematische Regeln (Sätze):

• Eine Ganzzahl ist ohne Rest durch 1 teilbar.
• Eine Ganzzahl ist ohne Rest durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch gerade ist.
• Eine Ganzzahl ist ohne Rest durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
• Eine Ganzzahl ist ohne Rest durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Ziffern durch 4 teilbar sind.
• Eine Ganzzahl ist ohne Rest durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist.
• Eine Ganzzahl ist ohne Rest durch 6 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 und die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.
• Eine Ganzzahl ist ohne Rest durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sind.
• Eine Ganzzahl ist ohne Rest durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
• Eine Ganzzahl ist ohne Rest durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist.

Für die Teilbarkeit durch 7 gibt es leider keine so einfache Bedingung.

Aus diesen Bedingungen lässt sich die Zahl etwas eingrenzen. Die letzte Stelle muss die 0 sein. Die Summe der Zahlen von 1 bis 9 ist 45, die ersten neun Ziffern sind also in jedem Fall durch 9 teilbar. Damit die ersten 5 Ziffern durch 5 teilbar sind, muss die 5. Stelle eine 5 sein (die 0 ist ja schon verbraucht). Damit die ersten 2, 4, 6, 8 Ziffern durch 2, 4, 6, 8 teilbar sind, müssen diese Stellen gerade sein (eine Zahl, die durch 4, 6, 8 teilbar ist, muss ebenfalls durch 2 teilbar sein). Für die Stellen 1, 3, 7, 9 bleiben nur die Ziffern 1, 3, 7 und 9 übrig. Daraus ergibt sich die erste Lösungstabelle:

Da die 3. Stelle ungerade ist bleiben für die 4. Stelle nur noch die Ziffern 2 und 6 übrig. Alle Kombinationen mit 4 oder 8 sind nicht durch 4 teilbar. Das Gleiche gilt für die Stelle 8 (eine Zahl, die durch 8 teilbar ist, muss ebenfalls durch 4 teilbar sein). Folglich bleiben für die Stellen 2 und 6 nur die Ziffern 4 und 8 übrig:

Da die ersten drei Stellen ebenso durch drei teilbar sein müssen wie die ersten sechs Stellen, müssen auch die Stellen 4-6 durch 3 teilbar sein. Dafür gibt es nur zwei Kombinationen.

Setzt man nun die Stellen 7 und 8 an diese beiden Kombinationen, so erhält man nur vier Kombinationen, deren letzte 3 Ziffern durch 8 teilbar sind.

Da sowohl die ersten drei Stellen als auch die Stellen 4-6 durch 3 teilbar sein müssen, müssen auch die Stellen 7-9 durch 3 teilbar sein (eine Zahl, die durch 9 teilbar ist, muss ebenfalls durch 3 teilbar sein). Das ist nur mit fünf Kombinationen möglich.

Für die ersten drei Zahlen gibt es zehn verschiedene Kombinationen, die durch 3 teilbar sind.

Setzt man nun die möglichen Kombinationen so zusammen, dass keine Ziffer doppelt vorkommt, erhält man nur zehn verschiedene Zahlen, von denen man weiß, dass die ersten n Stellen durch n teilbar sind; n ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10}

Das einzige, was man nun noch überprüfen muss, ist, ob die ersten 7 Stellen auch durch 7 teilbar sind. Probiert man alle Kombinationen durch, so erhält man die einzige Lösung, auf die auch diese Bedingung zutrifft: 3816547290.

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