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Thema: Das Summen - Produktproblem

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Thema: Das Summen - Produktproblem
Michael_Sch (12 Beiträge) am 08.05.2010 um 22:07 Uhr:
Eine ziemlich harte Nuss, aber eines meiner Lieblingsrätsel:

Zwei Mathematiker (perfekte Logiker) treffen sich auf der Straße. Der eine weiß das Produkt von zwei ganzen Zahlen zwischen 2 und 50. Der andere kennt die Summe dieser Zahlen. Die Mathematiker wissen nur, daß die Zahlen größer oder gleich 2 sind. Sie beginnen ein Gespräch.
Sagt der Mathematiker mit dem Produkt: „Ich kenne die zwei Zahlen nicht.“ Darauf entgegnet der andere (mit der Summe): „Das habe ich gewußt“. Daraufhin meint der erste wieder: „Jetzt kenne ich die zwei Zahlen“, woraufhin der zweite sagt: „Jetzt kenne ich sie auch“.
Wie lauten folglich die zwei Zahlen ?

genie95 (3 Beiträge) am 16.07.2010 um 19:04 Uhr:
die zwei zahlen sind 2 und 9 stimmts? :-)

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Michael_Sch (12 Beiträge) am 16.07.2010 um 23:26 Uhr:
Nein, das ist nicht die Lösung. Wie bist du darauf gekommen?

genie95 (3 Beiträge) am 16.07.2010 um 23:50 Uhr:
der mit der summe weiß:
die zwei zahlen müssen 2 und 9, 3 und 8, 4 und 7 oder 5 und 6 sein.
in allen fällen hätte der 2. ein produkt bei dem es mehrere möglichkeiten für die zwei zahlen gibt (2*9=18=3*6; 3*8=24=4*6; 4*7=28=2*14; 5*6=30=2*15) also weiß er, dass der 2. Die zwei zahlen nicht kennen kann.

der mit dem produkt hat die zahl 18, also weiß er:
die zwei zahlen sind entweder 2 und 9 (dann hat der 1. die zahl 11) oder 3 und 6 (dann hat der 1. die zahl 9)
nachdem der mit der summe gesagt hat dass er weiß, dass der 2. die zwei zahlen nicht kennen kann, weiß der 2. dass der mit der summe die zahl 11 hat also weiß er, dass die zwei zahlen 2 und 9 sind usw

Michael_Sch (12 Beiträge) am 17.07.2010 um 00:19 Uhr:
der Denkansatz geht schon mal genau in die richtige Richtung!

Aber wieso gehst du im ersten Schritt von der Summe 11 aus?

genie95 (3 Beiträge) am 17.07.2010 um 00:24 Uhr:
weil die summe von 9 und 2 11 ist
und ich solange rumprobiert habe bis ich gedacht habe, dass es mit 9 und 2 funktioniert

Michael_Sch (12 Beiträge) am 17.07.2010 um 20:27 Uhr:
Die Zahlen 2 und 9 scheitern im letzten Schritt. Der Mathematiker mit der Summe könnte die Zahlen zum Schluss nicht wissen. Auch 5 und 6 kommen für diesen Mathematiker als Lösung in Frage.

maenx (5 Beiträge) am 18.07.2010 um 02:53 Uhr:
die beiden Zahlen sind 4 und 13
da der mit der Summe weiss, dass der mit dem Produkt die Zahlen nicht kennt, darf die Summe nicht aus zwei Primzahlsummanden entstehen. Mögliche Summen bleiben daher: 11,17,23,27,29,35,37,41,47, usw.
von da an hab ich ausprobiert und stosse für die Summe 17 auf eine Eindeutigkeit für das Produkt 52, mit dem beide Mathematiker mit den gemachten Bemerkungen auf die Zahlen 4 und 13 schliessen können.
Allerdings hab ich nicht überprüft ob es nicht noch weitere Lösungen gibt...

saescha (69 Beiträge) am 08.09.2010 um 19:34 Uhr:
Ich gehe davon aus dass, das Produkt kleiner als 50 sein muss, denn Dann habe ich eine eindeutige Lösung:
4 und 7.

P := Der Mathematiker der das Produkt kennt.
S := Der Mathematiker der die Summe kennt.

Denn aus der Summe kann geschlossen werden, dass nicht beide Zahlen prim sind (wegen 1ter und 2ter Aussage)
=>
die Summe ist ungerade und die Summe ist nicht 2 + eine Primzahl.
=>
einer der Faktoren ist ungerade und einer gerade.
(Das weis nun P)
Weil er daraus direkt auf die beiden Faktoren schliessen kann, ist eine eine Primzahl und eine eine 2er Potenz.
(Das weis nun S)
=> Er kann die Summe eindeutig eine Primzahl und eine 2er Potenz zerlegen.

Zahlen zwischen 2 und 50 die das erfüllen gibt es viele:
(32, 5), (4, 7), (4, 13), (16, 13), (32, 23), (32, 29), (4, 37), (16, 37), (32, 37), (16, 41), (32, 41), (16, 43), (32, 43), (32, 47)
aber nur bei (4,7) liegt das Produkt unter 50.


Bitte als gelöst markieren.
lg,
Sascha

saescha (69 Beiträge) am 09.09.2010 um 14:15 Uhr:
Ok nochmal eine genaue Erläuterung:

P kann die Zahlen nicht wissen => nicht 2 Primzahlen

S weis das => Die Summe kann nicht von zwei Primzahlen erzeugt werden => (Goldbachsche Vermutung) Summe ist ungerade und Summe - 2 ist nicht Prim. => eine Zahl ist gerade und eine ungerade

Diese Information reicht P um auf die beiden Zahlen zu schliessen => die Primfaktorzerlegung des Produktes enthält genau 1 ungerade Primzahl und mindestens 3 Zahlen => eine Zahl ist eine 2er Potenz und eine ist prim.

Da S nun auch auf die Zahlen schliessen kann ist die Summe eindeutig in eine 2er Potenz und eine Primzahl zerlegbar

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