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Thema: 12 Kugeln

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Thema: 12 Kugeln
Michael_Sch (12 Beiträge) am 08.05.2010 um 21:59 Uhr:
Ein Klassiker der Logikrätsel geht mir hier ab, nämlich eine interessante Variante des 9 Kugel Problems:

Diesmal gibt es 12 gleiche Kugeln, eine davon hat ein unterschiedliches Gewicht (entweder schwerer oder leichter). Mit drei mal Wiegen auf einer Balkenwaage soll diese Kugel gefunden werden. Zusätzlich muß bestimmt werden, ob diese Kugel schwerer oder leichter ist.

Viel Spass beim Knobeln!

Lotratf (15 Beiträge) am 18.05.2010 um 11:40 Uhr:
Wenn klar wäre, ob die Kugel schwerer oder leichter, dann wäre das Rätsel schnell gelöst. Nehme man an die Kugel sei schwerer:



Schritt 1:

Man unterteil die 12 Kugeln in 3 Haufen aus je 4 Kugeln. Dann legt man Haufen 1 in eine Waagschale und Haufen 2 in die andere. Haufen 3 bleibt außen vor.
Sind die beiden Haufen nicht im Gleichgewicht, so befindet sich die gesuchte Kugeln im schwereren Haufen. Sind Haufen 1 und Haufen 2 gleich schwer, so ist die gesuchte Kugeln in Haufen 3.

Schritt2:

Bleiben so oder so noch 4 Kugeln übrig, die man jetzt in 2 Haufen mit je 2 Kugeln unterteilt und wiegt. Im schwereren Haufen steckt die schwerere Kugel.

Schritt 3:

Jetzt hat man noch 2 Kugeln, die man nur noch wiegen muss um zu sehen, welche die schwerere ist.


ABER, da es nicht klar ist, ist das ganze etwas happiger und bisher schaff ich es auch nur in 4 mal wiegen:

Schritt 1:

Man unterteil die 12 Kugeln in 3 Haufen aus je 4 Kugeln. Dann legt man Haufen 1 in eine Waagschale und Haufen 2 in die andere. Haufen 3 bleibt außen vor.

Schritt 2: Wenn die Haufen verschieden schwer sind, tauscht man den leichteren gegen Haufen 3 aus. Sind die beiden Haufen jetzt gleich schwer, so ist die gesuchte Kugel leichter als die anderen und befindet sich im derzeit weggelegtem Haufen. Ist Haufen 3 ebenfalls leichter, so ist die gesuchte Kugel schwerer und befindet sich im \"schweren\" Haufen auf der Waage.
Sind Haufen 1 und Haufen 2 gleich schwer, so muss die gesuchte Kugel in Haufen 3 stecken.

Schritt 3:

Bleiben noch 4 Kugeln übrig, die man jetzt in 2 Haufen mit je 2 Kugeln unterteilt und wiegt. Weiß man schon, ob die Kugel schwerer oder leichter ist, dann ist die gesuchte Kugel im schwereren bzw. leichteren Haufen.
Ansonsten tauscht man den leichteren Haufen gegen 2 bereits beiseite gelegte Kugeln, die ja definitiv das richtige Gewicht haben. Sind die beiden Haufen jetzt gleich schwer, so ist die gesuchte Kugel leichter als die anderen und befindet sich unter den 2 weggelegten Kugeln.
Sind die 2 Kugeln ebenfalls leichter, so ist die gesuchte Kugel schwerer und befindet sich im \"schweren\" Haufen auf der Waage.

Schritt 4:

Man weiß jetzt, ob die Kugel leichter oder schwerer ist und man hat noch 2 Kugeln, die man nur noch wiegen muss um zu sehen, welche die schwerere bzw. leichtere ist.

Bei diesem Lösungsansatz muss man allerdings 4mal wiegen.

Im Original musste man 9 Kugeln 2mal wiegen um eine vorgegebene Gewichtsabweichung zu finden. Durch die Erhöhung der Kugelzahl und das Offenlassen der Richtung der Gewichtsabweichung muss man auf meinem Weg jeweils 1mal mehr wiegen.
9 Kugeln mit offener Gewichtsabweichung bzw. 12 Kugeln mit festgelegter sind mit 3 mal wiegen kein Problem, aber beides zusammen ist knifflig.

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viola (3 Beiträge) am 02.06.2010 um 21:27 Uhr:
Funktioniert das? Dachte mehrfach \"ich habs!\" und dann war`s nichts....

Man teilt die Kugeln in 4 Haufen zu 3 Kugeln auf.

1. Wiegen: Wähle zwei Haufen aus. Entweder ist A=B, (dann ist die gesuchte Kugel in C oder D) oder z.B. A ist leichter als B (dann gilt C=D).
Jedenfalls weiß man jetzt welche zwei Haufen auf jeden Fall das Gleiche wiegen und welche zwei sich unterscheiden. Wir wissen, dass in jedem Fall 3 Haufen das gleiche Gewicht haben.

2. Wiegen: Sei hier als Beispiel also A leichter als B, wiege A und einen der beiden anderen Haufen C oder D. Entweder A=C (dann ist in B eine Kugel schwerer) oder A bleibt leichter, dann ist in A eine Kugel leichter.
Jetzt wissen wir in welchem Haufen sich das andere Gewicht versteckt.

3. Wiegen: Wähle zwei Kugeln aus dem Haufen mit dem anderen Gewicht aus (A leicht, B schwer). Sind sie gleich, ist die Kugel die übrige Kugel. Sind sie ungleich ist in dem Fall mit A leichter die leichtere Kugel zu leicht, in dem Fall mit B schwerer die schwerere Kugel zu schwer.

Lotratf (15 Beiträge) am 03.06.2010 um 02:02 Uhr:
Mhm, sieht schon relativ gut aus...

aber was passiert, wenn die gesuchte Kugel in C oder D ist...

Dann wiegst du erst A und B, siehst A=B.

Dann nimmst du im zweiten Wiegen C und D und siehst, C ungleich D. Sagen wir mal C wäre leichter. Dann weißt du nicht, ob in D oder in C die \"falsche\" Kugel sitzt und musst ein zusätzliches Mal wiegen.

viola (3 Beiträge) am 03.06.2010 um 21:32 Uhr:
Nö, wenn A=B ist, weiß ich, dass die Kugel in C oder D ist. Dann wiege ich z.B. C und A zusammen. Sind die gleich, dann ist die Kugel in D. Ist C ungleich A, dann ist in C die Kugel. Rest s. analog unten...

Michael_Sch (12 Beiträge) am 03.06.2010 um 22:02 Uhr:
@Viola:
Dein Lösungweg funktioniert nicht ganz, der folgende Fall geht nämlich nicht:

1) A=B
2) A=C

dann weiss ich dass die Kugel in D ist, weiss aber immer noch nicht, ob sie schwerer oder leichter ist. Das Dritte mal Wiegen führt daher (wenn die zwei Kugeln unterschiedlich schwer sind) zu keinem eindeutigen Ergebnis.

Na dann - auf ein Neues - irgendwann wird\'s schon jemand knacken :)

viola (3 Beiträge) am 03.06.2010 um 22:43 Uhr:
Spielverderber :) Mist. Mist. Mist. Und ich diesmal hatte ich es \"wirklich\"...

ceres (22 Beiträge) am 27.06.2010 um 02:31 Uhr:
Man bilde mit der Balkenwaage eine schiefe Ebene und lässt alle 12 Kugeln runterrollen. Die Kugel, welche kürzer (weiter) rollt als alle anderen, ist die gesuchte und sie ist schwerer (leichter).

Um die Konditionen für das Rätsel einzuhalten, wiegt man noch 3 Mal mit der Waage mit irgendwelchen Kugelkonstellationen in den Waagschalen, aber Achtung!: Es muss aussehen, als ob man weiß, was man da macht.

Nach dem dritten Mal wiegen präsentiert man das obige Ergebnis mit wichtiger und bedeutungsvoller Miene der verblüfften Zuschauerschaft.

Voila Viola !

ceres (22 Beiträge) am 28.06.2010 um 03:43 Uhr:
Diese Sch... Aufgabe hat mir keine Ruhe gelassen. Hier ist meine Lösung:

Wir machen 3 Haufen zu je 4 Kugeln - A, B und C (Dies war auch schon der letzte einfache und verständliche Satz). Die Kugeln werden mit Haufenzugehörigkeit und Ordnungszahl identifiziert.

Dann erfolgt das 1.Wiegen: Haufen A wird mit Haufen B verglichen.

Falls sie gleich schwer sind, muss die Kugel in Haufen C sein (ja nee is klar, soweit waren wir alle schon). Aber jetzt kommt im 2.Wiegen schon der erste Trick: Es werden nur 3 Kugeln des zu testenden Haufens C mit 3 beliebigen Kugeln aus den Haufen A oder B gewogen (häh?).
Ist die Waage ausbalanciert, dann ist die vierte Kugel aus Haufen C die gesuchte Kugel. Im dann folgenden 3.Wiegen mit einer x-beliebigen anderen findet man raus, ob C4 leichter oder schwerer ist.
Neigt sich die Waage im 2.Wiegen aber nach links (rechts), ist eine der Kugeln C1, C2 oder C3 schwer (leicht). Im 3.Wiegen wird C1 gegen C2 gewogen: Ist eine schwerer (leichter), ist das unsere gesuchte schwere (leichte) Kugel; sind sie gleich, ist C3 die gesuchte schwere (leichte) Kugel.

Bis hierhin gings ja noch gut mit Worten. Aber falls die Waage im 1.Wiegen nicht ausbalanciert war, wird’s knifflig im Erklären. Desweiteren ist die Denkweise, ob Haufen A nun schwerer oder leichter als Haufen B war, die gleiche, weswegen ich auch nur eins erkläre, was ich immer mache, wenn ich vereinfachen kann, um mich kurz und prägnant auszudrücken, um Schachtelsätze, welche die Logik gehörig durcheinanderbringen können, zu vermeiden (Wo war ich jetzt eigentlich?).

Achso: Nehmen wir an, Haufen A war im 1.Wiegen leichter als (wie) Haufen B, d.h., entweder ist eine Kugel in A leicht oder eine in B schwer (Merken!).

Für das 2.Wiegen legen wir die Kugeln A1, B1 und B2 beiseite; die Kugeln A2, A3 und B3 in die linke, und die Kugeln A4, B4 und C1 in die rechte Waagschale (C1 spielt hier nur die Rolle als lückenfüllendes Standardmaß).

Ist die Waage in Harmonie, ist die gesuchte Kugel in den beiseite gelegten A1, B1 und B2 zu finden. Im 3.Wiegen werden die beiden potenziell schweren Kugeln, also B1 und B2, miteinander gewogen. Falls eine schwerer ist, so ist das die gesuchte Kugel - und sie ist schwer. Sind sie gleich, ist die gesuchte Kugel A1 und die ist leicht (B1 und B2 können nicht leicht sein, schon vergessen ?!).

Zurück zum Ergebnis des 2.Wiegens: Neigt sich die Waage nach rechts, so kann das nur eine schwere Kugel rechts bzw. eine leichte Kugel links bewirken. Dafür kommen nur A2, A3 und B4 in Frage. Analog zum vorherigen Fall werden im 3.Wiegen nun A2 und A3 miteinander verglichen und, voila, wir haben die Kugel (Schaffen Sie diese gedankliche Transferleistung?).

Neigt sich die Waage im 2. Wiegen nach links, dann kommen nur die schwere Kugel B3 (linke Waagschale) bzw. die leichte Kugel A4 in Betracht. Wenn Sie jetzt im 3.Wiegen beide Kugeln gegeneinander abwiegen wollen, dann rate ich Ihnen, fangen Sie nochmal von vorn an mit Lesen ! :???:

Eigentlich ganz einfach ...

P.S. Zur Beruhigung: Wenn Sie glauben, ich habe dieses Problem im schönsten Prosa durchgearbeitet, dann irren Sie sich – auch ich musste unzählige Blätter vollkritzeln und bin den Verlockungen der Einfachheit erlegen gewesen, bis ich durch Querdenken die Lösung erzwungen habe.
P.P.S. Wenn das Ergebnis jetzt nicht stimmt, dann bitte ich den Administrator, meine Identität unter KEINEN Umständen preiszugeben. Danke. 8-)

Linlux (4 Beiträge) am 17.07.2010 um 18:47 Uhr:
Hallo zusammen und vielen Dank @ ceres für Deine Lösung.

Als ich sie mir durchlas, kam ich direkt auf die Idee, sie in eine Mind-Map zu packen und habe das auch getan.

Diese Mind-Map möchte ich Euch zur Verfügung stellen :)

Hier als pdf.

Hier als mm.

Um die mm-Datei öffnen und bearbeiten zu können, benötigt ihr die freie Software Freeplane.

Viel Spaß!

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