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Thema: Die Prinzessin im See
Jonas (Administrator, 334 Beiträge) am 26.07.2008 um 15:05 Uhr:
Wie kann die Prinzessin der Hexe entkommen? Posten Sie Ihren Lösungsvorschlag hier!
WickieJena (9 Beiträge) am 27.07.2008 um 12:08 Uhr:
Prinzessin - Rot Hexe - Gelb Das Problem ist, dass die Prinzessin nicht direkt zum Ufer schwimmen kann, da die Hexe schon vorher dort wäre, da der halbe Umfang um Pi länger ist als der Radius und die Hexe 4mal schneller ist (PI < 4). Die Idee dabei ist,dass die Prinzessin einen kleinen Vorsprung benötigt. Das bewerkstelligt man so, indem die Prinzessin der Hexe erst entgegenschwimmt bis zu einem gewissen Innenradius. Dieser muss so gewählt werden, dass die Winkelgeschwindigkeit der Prinzessin größer ist als die der Hexe. Dann muss sie solange im konzentrischen Kreis (mit Innenradius) schwimmen bis sich der Mittelpunkt des Sees zwischen ihr und der Hexe befindet. Dann muss die Prinzessin nur noch den direkten Weg zum Ufer nehmen. Das Problem das nun gelöst werden muss ist, dass zum einen die Winkelgeschwindigkeit der Prinzessin größer sein muss und dass die direkte Reststrecke am Schluss kurz genug sein muss damit die Hexe sie nicht vorher erreicht. Laut meiner Rechnung hat der Innenradius die Größe: 0,2146*R(See-außen) < R(innen-Prinzessin) < 0,25*R(See-außen) Da muss die Prinzessin schon gutes Augenmaß haben ;-) Die Rechnung habe ich in Form eines Bildes gemacht und sollte in Kürze folgen: mfg Wickie
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WickieJena (9 Beiträge) am 27.07.2008 um 12:27 Uhr:
Ich hab mir überlegt, dass Prinzessinnen nicht ganz so fit sind und habe eine Lösung die für sie kürzer sein sollte. Indem sie spiralförmig vom Mittelpunkt aus immer von der Hexe wegschwimmt und dann bei dem schon beschriebenen Innenradiusbereich (wenn die Hexe immer noch genau gegenüber ist) direkt zum Ufer schwimmt, müsste sie das auch von der Gefangennahme bewahren. mfg Wickie
WickieJena (9 Beiträge) am 27.07.2008 um 13:04 Uhr:
Jonas (Administrator, 334 Beiträge) am 27.07.2008 um 13:36 Uhr:
Die Lösung stimmt und die zweite Variante dürfte auch die kürzeste sein. Das nächste mal aber bitte alles in einem Beitrag (einfach über \"bearbeiten\" ändern) :d:.
Lotratf (15 Beiträge) am 27.07.2008 um 16:35 Uhr:
ich denke mal wir meinen so ziemlich das gleiche, habe mir jetzt noch nicht die Mühe gemacht es aus- bzw. nachzurechnen. Sagen wir die Prinzessin befindet sich in der Mitte und die Hexe links von ihr. So schwimmt die Prinzessin eine kleine Strecke <r nach rechts. Die Hexe läuft jetzt entweder MIT oder GEGEN den Uhrzeigersinn nach rechts. Die Prinzessin muss nun versuchen \"gegenüber\" der Hexe zu sein, also auch MIT oder GEGEN den Uhrzeigersinn nach links. Ihr Abstand zur Mitte wird dabei immer größer und ab einer bestimmten Distanz ist sie schneller am Ufer als die Hexe bei ihr. Wie gesagt habe ich jetzt nicht genau nachgerechnet WANN das passiert, aber so wird es gehen.
josef (23 Beiträge) am 28.10.2008 um 21:34 Uhr:
Prinzessin in der Mitte eines kreisrunden Sees wird von einer Hexe bedroht: Lösung von Josef Kroiß am 27.10.2008: Wenn die Prinzessin immer von der Hexe wegschwimmt, wird sich ihr Abstand zur Hexe ständig vergrößern und der Abstand zum Ufer vis a vis von der Hexe permanent verkleinern, so dass die Prinzessin schließlich das Ufer betritt, während die Hexe genau am gegenüberliegenden Uferpunkt des runden Sees steht. Die Hexe kann sich auf diese Weise der Prinzessin überhaupt nicht nähern – im Gegenteil! Das ist möglich, wenn die Prinzessin auf einer Spirale heraus schwimmt, deren Anfang in der Seemitte und deren Ende am Seeufer liegt. Erklärung: Wenn die in der Seemitte befindliche Prinzessin damit beginnt, von der Hexe weg zu schwimmen, muss diese sich für eine Laufrichtung links oder rechts um den See herum entscheiden. Nehmen wir an, die Hexe läuft ständig rechts um den See, dann schwimmt auch die Prinzessin ein kleines Stückchen nach rechts außen, wobei sie unbedingt darauf achten muss, dass sie immer auf der Verlängerung (über den Mittelpunkt hinaus) einer gedachten Strecke zwischen der Hexe und dem Seemittelpunkt bleibt, welcher als Achse gedacht werden kann, um die sich die Strecke wie ein Uhrzeiger oder besser eine Kompass-Magnetnadel dreht. Die Schwimmstrecke beträgt auf diese Weise nur einen Bruchteil der Wegstrecke, die die Hexe am Seeumfang zu laufen hat, und die Hexe kann auf diese Weise der Prinzessin keinen Zentimeter näher kommen, sondern entfernte sich sogar immer weiter von ihr. Die Hexe könnte nun gerade so gut ihre Laufrichtung ändern und jetzt links um den See herumlaufen. In diesem Falle bräuchte die Prinzessin nur die Spiralrichtung umkehren und ebenfalls „stückchenweise“ nach links außen schwimmen. Zur Veranschaulichung könnte man sich eine Magnetnadel vorstellen, an deren einen Spitze die Hexe befestigt ist. Der gegenüberliegende Zeiger weist einen durchgehenden Schlitz auf, aus dem ein Bolzen (Prinzessin) herausragt, welcher am Grund des Sees in einer Spirale läuft. Dreht man nun die Magnetnadel, dann „schraubt“ man den Bolzen nach außen in Richtung Ufer, und der Bolzen (Prinzesschen) wird immer dann am Ufer ankommen, wenn der Gegenzeiger (=Hexe) genau gegenüber liegt. Es ist unmöglich, dass die beiden „Magnetnadel-Zeigerhälften“ in die gleiche Richtung weisen.
martist79 (1 Beitrag) am 26.11.2008 um 19:36 Uhr:
Die Prinzessin befindet sich in der Mitte des Sees. Nun geht man davon aus, dass sie, nachdem sie klug darüber nachgedacht hat, wie sie von dort aus der Hexe trotz ihrer misslichen Lage dennoch entkommen kann, in Richtung Ufer schwimmt. Dies nimmt die Hexe wahr, d. h., sie sieht die Prinzessin zum Ufer schwimmen. Kurz vor dem Erreichen des Ufers, wenn die Hexe eindeutig sieht, dass die Prinzessin in Kürze in ihrer Greifweite sein wird, macht die Prinzessin eine Kehrtwende und schwimmt entgegengesetzt in die Richtung des Ausgangspunkts, d. h. Mitte des Sees, zurück, ohne jedoch diesen zu erreichen bzw. zu erreichen anzustreben (dies kann die Hexe zu diesem Zeitpunkt noch nicht wissen oder erahnen!). Die Hexe sieht diese Kehrwende wiederum und reagiert darauf, indem sie in vierfach schneller Geschwindigkeit als die Schwimmgeschwindigkeit der Prinzessin zum 180° entgegengesetzten Ufer eilt* in der Annahme, die Prinzessin beabsichtige tatsächlich, dieses zu erreichen. Dies zwingt Hexe dazu, nach vorn in ihre Laufrichtung zu schauen - während sie vier Mal so schnell läuft, wie die Prinzessin schwimmt -, wobei gleichzeitig die Prinzessin vorübergehend aus dem Blickwinkel bzw. Blickfeld der Hexe gerät; die Hexe nimmt weiterhin an, die Prinzessin schwimme nun in die entgegengesetzte Richtung (sie kann dies ja für Augenblicke während ihres Eilens nicht sehen!). Während die Prinzessin also für den Moment aus dem Blickfeld der Hexe verschwunden ist, schwimmt - ohnehin kurz vor dem rettenden Ufer angekommen - die Prinzessin nach ihrer Kehrtwende wieder in Richtung ihrer ursprünglichen Schwimmrichtung zum Ufer hin, das unmittelbar vor ihr in Reichweite liegt. (*Dies widerspricht nicht dem Prinzip bzw. der Vorgabe, dass die Hexe möglichst \"dicht\" an der Prinzessin \"dranzubleiben\" versucht, dies entspricht vielmehr diesem Prinzip.) Während dessen hat nun die Hexe in vierfach schneller Geschwindigkeit einen deutlich weiteren Weg zurückgelegt, wobei gleichzeitig die Prinzessin lediglich einmal eine kurze Distanz zurückgeschwommen, dann aus dem Blickfeld der Hexe geraten, diese gleiche kurze Distanz zurückgeschwommen und mittlerweile in Reichweite des Ufers gelangt ist. Der Schwenk der Schwimmrichtung bleibt von der Hexe so lange unbeobachtet, bis diese etwa zwischen dem 90°- und 180°-Winkel aus ihrem äußeren Blickfeld diesen womöglich erkennen kann. Zu diesem Zeitpunkt ist es für die Hexe jedoch bereits klar zu spät, um auch bei vierfach schneller Laufgeschwindigkeit noch an den Landepunkt der Prinzessin am Ufer zu gelangen, bevor diese in Kürze dort eintrifft. Das heißt mathematisch: Beispielsweise befindet sich die Prinzessin mittlerweile eine Schwimmeinheit (entsprechend der vierfachen Laufeinheit der Hexe) vom Ufer entfernt. Dazu hat sie zuvor z. B. zwei (Schwimm-)Einheiten - in entgegengesetzter Richtung - zurückgelegt (= ein Mal entgegen der Uferrichtung, ein Mal in Richtung zurück zum Ufer), wobei die Hexe in zwei (Lauf-)Einheiten - in die gleiche Richtung (zum diesem entgegengesetzten Ufer) - von ihrem Ausgangspunkt zurückgelegt hat. Zum Ausgangspunkt ihrer Kehrtwende zurückgekehrt, hat die Prinzessin nun noch eine Wegeinheit zum Ufer zurückzulegen. Wenn frühestens hier die Hexe bemerkt, dass die Prinzessin eine erneute Kehrtwende in Richtung ihrer ursprünglichen Schwimmrichtung gemacht hat, so befindet sie sich allerdings bereits zwei Laufeinheiten entfernt von dem Uferlandepunkt der Prinzessin, die wiederum nur noch eine Schwimmeinheit vom sie rettenden Ufer entfernt ist. Am Ufer gelandet, gilt die Bedingung: An Land ist die Prinzessin schneller als die Hexe. So kann die Prinzessin der Hexe entkommen! Somit zeigt sich (ohne komplizierte Mathematik!), dass die um ein Vierfaches schnellere Laufgeschwindigkeit der Hexe nicht zwangsweise deren Vorteil sein muss bzw. sich diese zum Nachteil der Prinzessin kehren muss - denn dadurch hat die Hexe längere Wegstrecken zu bewältigen!
Jonas (Administrator, 334 Beiträge) am 29.11.2008 um 21:42 Uhr:
@martist79: interessanter Lösungsansatz. Würde aber voraussetzen, dass die Hexe so darin vernarrt ist, dass die Prinzessin an das gegenüberliegende Ufer schwimmt, dass sie es nicht für nötig erachtet, mal nach links oder rechts zu schauen (je nachdem, ob sie im oder gegen den Uhrzeigersinn um den See läuft). Wenn die Prinzessin merkt, dass die Hexe darauf \'rein fällt, kann sie schnell zum Ufer schwimmen. Wenn das nicht der Fall sein sollte, kann sie immer noch zurück zur Mitte des Teichs schwimmen, ohne dass die Hexe sie erwischt. Aber eine Patentlösung ist es nicht.
phille (1 Beitrag) am 18.12.2012 um 19:08 Uhr:
wäre es nicht auch möglich dass die Prinzessin während sie von der hexe wegschwimmt einmal etwas weiter links dann etwas weiter rechts der gedachten gerade die durch beide geht sozusagen im zickzack schwimmt sodass die hexe andauernd ihre richtung ändern muß ? mfg

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