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Thema: Silvesterfeuerwerk
Jonas (Administrator, 334 Beiträge) am 31.12.2015 um 09:04 Uhr:
Wissen Sie, wie Sie den Sicherheitsmechanismus des Silvesterfeuerwerks mit einer möglichst kurzen Folge von Steuerungsoptionen sicher zünden können? Dann posten Sie Ihren Lösungsvorschlag hier!
HPH (1 Beitrag) am 10.01.2016 um 00:50 Uhr:
Zur Nomenklatur: Eine Schalterstellung wird durch einen eine Folge von vier Nullen oder Einsen dargestellt. Zum Beispiel bedeutet 0110, dass Schalter 1 offen, Schalter 2 und 3 geschlossen sowie Schalter 4 offen ist. Die Aktionen, die vom Schaltpult aus durchgeführt werden können, werden mit A1, A2, A3 und A4 bezeichnet. Die Aufgabe besteht also darin, aus jeder beliebigen Ausgangssituation abcd mit a,b,c,d = 0 oder 1 den Zielzustand 1111 abzuleiten. Wir betrachten zunächst den Spezialfall, dass genau 2 Schalter geschlossen sind. Es sind dies die Ausgangssituationen 1100 1010 1001 0110 0101 0011 Wir führen nacheinander die Operationen A3, A1, A4, A1, A3, A1 aus und erhalten spätestens nach der letzten dieser Operationen den Zustand 1111. Die Abfolge dieser sechs Operationen bezeichnen wir mit T (wird unten benötigt). Der Beweis hierfür ist etwas länglich, aber nichts anderes als ein systematisches Abarbeiten der einzelnen Fälle. Behauptung: Mit der Abfolge der Operationen A1 T A2 A1 T also nach insgesamt 15 Schritten ist das Feuerwerk gezündet. Beweis: Falls der Ausgangszustand 0000 ist, zündet das Feuerwerk bereits nach A1. Falls der Ausgangszustand genau zwei geschlossene Schalter hat, sind auch nach A1 genau zwei Schalter geschlossen und nach A1 T zündet das Feuerwerk - s.o. Falls der Ausgangzustand einen offenen und drei geschlossene Schalter hat oder drei geschlossene und einen offenen Schalter hat, liegt diese Situation auch nach Ausführung von A1 und T vor, da bei jeder der ausgeführten Operationen eine gerade Anzahl von Schaltern betätigt wird. Nach Ausführung von A1 T A2 ist damit die Anzahl der offenen und geschlossenen Schalter gerade. Es gibt die folgenden Fälle: Null geschlossene Schalter: Der nächste Schritt A1, also die Folge A1 T A2 A1, zündet das Feuerwerk. Genau zwei geschlossene Schalter: Nach A1, also der Folge A1 T A2 A1 sind auch genau zwei Schalter geschlossen; die folgenden sechs zu T gehörenden Schritte zünden das Feuerwerk - s.o. Vier geschlossene Schalter: Das Feuerwerk zündet.
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Jonas (Administrator, 334 Beiträge) am 10.01.2016 um 13:48 Uhr:
Ja, das ist die korrekte Lösung. Ich habe meine Lösung inkl. der Überlegungen zu genau zwei geschlossenen Schaltern nun auch online gestellt.

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