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Thema: Zeitungen falten und Ecken abschneiden

Thema: Zeitungen falten und Ecken abschneiden
noreen (2 Beiträge) am 22.12.2012 um 19:18 Uhr:
Hallo allerseits,

ich bin letztens auf folgendes Problem gestoßen.

Man nehme eine Zeitung (oder anderes Papier) und schneide an allen Ecken ein Stück ab. Danach falte man die Zeitung einmal zusammen (halbieren) und schneide wieder (an den noch nicht geschnitten Ecken) ein Stück ab.
Wir wiederholen diesen Vorgang. Beim dritten mal falten und schneiden entsteht (nachdem auseinander klappen der Zeitung) in der Mitte 1 Quadrat. Beim erneuten zusammenklappen und schneiden entstehen 3 Quadrate, beim nächsten Mal 9.
Die Folge setzt sich so fort: 5 mal falten 21 Quadrate, 6 mal falten 49 Quadrate und 7 mal falten 105 Quadrate.
Meine Frage nun: Wie kann man das berechnen...?


Ich hab selbst was gefunden, was mir aber sehr merkwürdig erscheint.
Es ergibt sich folgende Folge:

Falten: 1 2 3 4 5 6 7
Anzahl: 0 1 3 9 21 49 105
Rechng: 0 + 1 + 2 + 6 + 12 + 28 + 56

Ich hab jetzt folgende Rechnung aufgestellt...
Beginnend ab dem 2 mal falten...
2: 2^0 * 2^0
3: 2^1 * 2^0
4: 2^1 * 3^1
5: 2^2 * 3^1
6: 2^2 * 7^1
7: 2^3 * 7^1

Könnte es dann so fortgesetzt werden?

8: 2^3 * 11^1
9: 2^4 * 11^1

Wer kennt das Problem und weiß eine wirkliche Lösung...?

Beste Grüße und schöne Weihnachten.... :-)
Noreen

ceres (22 Beiträge) am 28.12.2012 um 01:26 Uhr:
Frohen Rutsch Noreen,

mehr als 8 Mal schaffst du sowieso nicht, ein Blatt Papier zu falten :-P

Also warum dann noch großartig Formeln erfinden?

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saescha (69 Beiträge) am 10.04.2013 um 17:52 Uhr:
hi noreen,

Du musst einfach die Ränder des gefalteten Papiers betrachten, überall wo ein Knick der einen Seite einen Knick der anderen Seite schneidet, entsteht beim abscheiden der Ecken ein Loch.

Bei jedem mal falten werden die stücke zwischen den Knicks verdoppelt, und es gibt immer genau einen Knick weniger als diese Stücke, so bekommt man:

$$0=1*0=(2^1-1)(2^0-1)$$
$$1=1*1=(2^1-1)(2^1-1)$$
$$3=3*1=(2^2-1)(2^1-1)$$
$$9=3*3=(2^2-1)(2^2-1)$$
$$21=7*3=(2^3-1)(2^2-1)$$
$$49=7*7=(2^3-1)(2^3-1)$$
$$105=15*7=(2^4-1)(2^3-1)$$

Also: $$a(n) = (2^{\lceil \frac{n}{2}\rceil}-1)*(2^{\lceil \frac{n-1}{2}\rceil}-1) $$

die nächsten Zahlen sind 225,465 und 961.
Ich hoffe das war einigermassen vertändlich.
lg,
Sascha

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