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| Thema: Briefe verschicken |
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| Jonas (Administrator, 334 Beiträge) am 25.07.2007 um 13:18 Uhr: |
| Sie haben die Lösung für dieses Stochastikrätsel gefunden? Dann posten Sie Ihren Vorschlag hier! Auch Fragen zu diesem Rätsel dürfen Sie in diesem Thread gerne posten. |
| c (1 Beitrag) am 30.12.2007 um 00:21 Uhr: |
| Hallo , Ich glaube ich habe die richtige Lösung gefunden : a) 1/5*3 = 0.066666... ~ 6.66 % b) 1/5*5 = 0.04 = 4 % da bei b) jeder Brief in den den richtigen Umschlag gelegt werden muss MFG c |
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| Maxi (11 Beiträge) am 30.12.2007 um 17:10 Uhr: |
| Hi, Ich hab was anderes raus: a) 1/5 * 1/4 * 1/3 = 1/60 = 0,016666666... b) 1/5 * 1/4 * 1/3 * 1/2 = 1/120 = 0,0083333333.... Mein Ansatz: Am Anfang hat sie ne Chance von 1/5 den richtigen Brief zu erwischen, da es dann nur noch 4 Briefe sind, hat sie dann ne chance von 1/4 usw. |
| cbhp (5 Beiträge) am 30.12.2007 um 18:19 Uhr: |
| Es gibt 5! = 120 Möglichkeiten, die 5 Briefe in 5 Umschläge zu stecken. Die Anzahl der Kombinationen, dass ein beschrifteter Brief im zugehörigen Umschlag landet, beträgt (1 über 1) = 1. a) Wenn 3 Briefe in 3 richtigen Umschlägen landen, bleiben 2 Briefe und 2 Umschläge übrig. Diese beiden Briefe sind falsch zugeordnet, dafür gibt es nur 1 mögliche Kombination. Für all diese Bedingungen gibt es also nur eine mögliche Kombination. P(\"3 von 5\" ) = 1 * 1 * 1 * 1 * 1 / 120 = 1 / 120 = 0,83 % b) Wenn 4 Briefe in 4 richtigen Umschlägen landen, dann landet automatisch der letzte Umschlag im richtigen Umschlag. Also sind alle Briefe richtig zugeordnet. Für all diese Bedingungen gibt es also nur eine mögliche Kombination. P(\"4 von 5\" ) = 1 * 1 * 1 * 1 * 1 / 120 = 1 / 120 = 0,83 % |
| Jonas (Administrator, 334 Beiträge) am 31.12.2007 um 11:43 Uhr: |
Zitat: zu a) Wenn du die Wahrscheinlichkeit für n richtige Briefe mit der Formel 1/(5*n) berechnest, wie berechnest du dann die Wahrscheinlichkeit für n = 0 (alle Briefe falsch)? zu b) Hier gilt das gleiche wie bei der Formel in a). Außerdem sind fünf richtige Briefe nicht genau vier richtige Briefe. Zitat: zu a) Bei diesem Ansatz berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass die drei ersten Briefe, die sie in einen Umschlag steckt, richtig sind. Ob die beiden letzten auch richtig sind, berücksichtigst du nicht. Außerdem könnten ja auch der zweite, dritte und vierte Brief im richtigen Umschlag stecken und der erste und der letzte Brief sind falsch eingeordnet. zu b) 1/5*1/4*1/3*1/2 = 1/(5!) = P(\"5 von 5\") Es geht aber um genau vier Briefe. Zitat: zu a) und b) Ich glaube kaum, dass die Wahrscheinlichkeit, drei Briefe richtig eingeordnet zu haben genauso groß ist wie die, alle Briefe richtig eingeordnet zu haben. Wenn man mit deinem Prinzip rechnen würde, so würde sich folgendes ergeben: P( \"0 von 5\" ) = 1/120 P( \"1 von 5\" ) = 1/120 P( \"2 von 5\" ) = 1/120 P( \"3 von 5\" ) = 1/120 P( \"4 von 5\" ) = 1/120 P( \"5 von 5\" ) = 1/120 Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist also 6/120 = 1/20. Es müsste aber 1 rauskommen, denn die Summe der Wahrscheinlichkeiten von allen möglichen Kombinationen ist 1. zu b) Hier gilt das gleiche wie bei Maxi. Ich denke, ihr habt bei b) einfach zu viel gerechnet. Eigentlich braucht man erst gar nicht rechnen, denn die Wahrscheinlichkeit ist, wie ihr schon bemerkt habt, offensichtlich. |
| cbhp (5 Beiträge) am 31.12.2007 um 13:53 Uhr: |
Zitat: Dann konntest du meinen Prinzip nicht folgen ;-) Hier nochmal ganz ausführlich, der Fehler lag nur bei P(\"4 von 5\" ): Es gibt 5! = 120 Möglichkeiten, die 5 Briefe auf 5 Umschläge zu verteilen. Die Anzahl der Kombinationen, dass ein beschrifteter Brief im zugehörigen Umschlag landet, beträgt (1 über 1) = 1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau keinen Brief in den richtigen Briefumschlag steckt? Alle Briefe wurden falsch zugeordnet. Von 120 müssen also die (5-1)! richtigen Zuordnungen subtrahiert werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau einen Brief in den richtigen Briefumschlag steckt? Für den richtigen Brief gibt es nur einen passenden Umschlag, also (1 über 1) Kombinationen. Die vier restlichen Briefe können beliebig angeordnet werden, also 4!, davon werden die 3! richtigen Zurordnungen subtrahiert. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau zwei Briefe in den richtigen Briefumschlag steckt? Für die zwei richtigen Briefe gibt es jeweils wieder (1 über 1) Kombinationen. Die drei restlichen Briefe können beliebig angeordnet werden, also 3!, davon werden die 2! richtigen Zurordnungen subtrahiert. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau drei Briefe in den richtigen Briefumschlag steckt? Für die drei richtigen Briefe gibt es jeweils wieder (1 über 1) Kombinationen. Die zwei restlichen Briefe können beliebig angeordnet werden, also 2!, davon werden die 1! richtigen Zurordnungen subtrahiert. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau vier Briefe in den richtigen Briefumschlag steckt? Für die vier richtigen Briefe gibt es jeweils wieder (1 über 1) Kombinationen. Der eine restliche Brief kann nur einer Stelle zugeordnet werden, also 1!, davon werden die 1! richtigen Zurordnungen subtrahiert. Es können also nicht vier Briefe richtig und der letzte falsch zugeordnet werden, also beträgt die Wahrscheinlichkeit gleich null. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau fünf Briefe in den richtigen Briefumschlag steckt? Für die fünf richtigen Briefe gibt es jeweils wieder (1 über 1) Kombinationen. Es bleibt kein Brief übrig. P(\"0 von 5\" ) = (5! - 4!) / 120 = 96 / 120 = 80,00 % P(\"1 von 5\" ) = (1 über 1) * (4! - 3!) / 120 = 18 / 120 = 15,00 % P(\"2 von 5\" ) = (1 über 1) * (1 über 1) * (3! - 2!) / 120 = 4 / 120 = 03,33 % P(\"3 von 5\" ) = (1 über 1) * (1 über 1) * (1 über 1) * (2! - 1!) / 120 = 1 / 120 = = 00,83 % P(\"4 von 5\" ) = (1 über 1) * (1 über 1) * (1 über 1) * (1 über 1) * (1! - 1!) / 120 = 0 / 120 = 00,00 % P(\"5 von 5\" ) = (1 über 1) * (1 über 1) * (1 über 1) * (1 über 1) * (1 über 1) / 120 = 1 / 120 = 00,83 % => 96 / 120 + 18 / 120 + 4 / 120 + 1 / 120 + 0 / 120 + 1 / 120 = 120 / 120 = 1 |
| Jonas (Administrator, 334 Beiträge) am 01.01.2008 um 22:01 Uhr: |
Zitat: Ja, dem kann ich zustimmen. Zitat: Ja, es gibt nur eine Möglichkeit für den beschrifteten Brief. Aber was ist mit den anderen Briefen? Die müssen ja falsch eingeordnet werden. Und dafür gibt es dann mehr als eine Möglichkeit. Zitat: Wie kommst du drauf, dass es 4! = 24 Möglichkeiten gibt, bei denen mindestens ein Brief richtig ist? Es gibt wesentlich mehr! Zitat: Es gibt für den richtigen Brief 5 Möglichkeiten: es könnte der 1., 2., 3., 4. oder 5. Brief sein. Außerdem gibt es auch mehr als 3! Möglichkeiten, von 4 Briefen mindestens einen richtig einzuordnen. Zitat: Dafür, zwei Briefe richtig einzuordnen, gibt es mehr als eine Möglichkeit und es gibt auch nicht nur 2! Möglichkeiten, mindestens einen von drei Briefen richtig einzuordnen. Zitat: Drei richtige Briefe können auf mehr als eine Art eingeordnet werden. Dass die beiden restlichen Briefe nur auf eine Art falsch eingeordnet werden können, stimmt. Zitat: Das Ergebnis ist richtig, die Begründung aber etwas fraglich. Es gibt 5 Möglichkeiten, 4 richtige Briefe einzuordnen. Diese Möglichkeiten multiplizierst du mit der Anzahl der Möglichkeiten, die restlichen Briefe falsch einzuordnen. In diesem Fall sind das Null Möglichkeiten. Folglich ergeben sich auch Null Möglichkeiten genau 4 von 5 Briefen richtig einzuordnen. Zitat: Ja, es gibt nur eine Möglichkeit, alle Briefe richtig einzuordnen. Zitat: Die Wahrscheinlichkeiten für \"4 von 5\" und \"5 von 5\" stimmen, die anderen nicht. |
| Manuel (68 Beiträge) am 08.01.2008 um 19:07 Uhr: |
| zu a) (ich hatte eine Idee, bin aber ehrlich gesagt nicht mehr so überzeugt von ihr und hatte eine andere, seltsame Idee :???: - ich probiers trotzdem mal :-P;-)) Was mal klar ist ist, dass die zwei falschen je im Umschlage des anderen sein müssen - sonst kann man gar nicht mehr 3 richtige haben. Deshalb war meine erste Idee folgende: Beim ersten Brief kann nichts schiefgehen. 1/1. Ich nehme an, sie nimmt den falschen Umschlag. Der zweite Brief kriegt sie mit 2/4 hin (in den falschen vom ersten oder in den richtigen Umschlag). Ich nehme an, sie nimmt den falschen vom ersten. Für die restlichen drei Briefe ist es nun: 1/3 * 1/2 * 1/1. Im Gesamten: 1/1 * 2/4 * 1/3 * 1/2 * 1/1 = 1/12. Dieser Ansatz hat aber den Haken, das man für den jeweils nächsten Brief eine Annahme treffen muss - und die \"Chance\" nicht mehr die gleiche ist (Chance erster Brief: 100%. Annahme: falsch --> Chance wäre nur noch 80% dass dies eintrifft!). Deshalb ist mein nächster Ansatz, für jede der Möglichkeiten die Wahrscheinlichkeit auszurechnen und sie zu addieren. Ich frage mich nur (ich habs noch nicht gemacht) ob es nicht einfach 10 * 1/5 * 1/4 * 1/3 * 1/2 * 1/1 ist... Was sehr wahrscheinlich falsch wäre, weil ich mit einem solchen Ansatz auch beim Rätsel \"Wer wird Millionär?\" gescheitert bin. Ich versuchs trotzdem, bzw. habe es gerade versucht und habe Probleme, welche Wahrscheinlichkeit jetzt wann wäre. Deshalb breche ich hier ab und frage: Was haltet ihr von diesem Ansatz? Dies ist allgemein gültig: Es gibt 10 Möglichkeiten, die 3richtigen und 2falschen Briefe zu kombinieren (ich gehe davon aus, dass sie einen nach dem andern macht und kann die Briefe deshalb nummerieren / in einer Reihenfolge halten). Dies sind sie: ffrrr frfrr frrfr frrrf rffrr rfrfr rfrrf rrffr rrfrf rrrff . |
| Jonas (Administrator, 334 Beiträge) am 09.01.2008 um 08:50 Uhr: |
Zitat: Hm, den Ansatz verstehe ich, ehrlich gesagt, nicht. Warum kann beim ersten Brief nichts schiefgehen? Das Ergebnis ist aber richtig. Zitat: Dieser Ansatz ist vollkommen richtig. Die Wahrscheinlichkeit, genau drei Briefe richtig einzuordnen, ist: 10 * 1/5 * 1/4 * 1/3 * 1/2 * 1/1 = 10/120 = 1/12. Prinzipiell gilt für jede Wahrscheinlichkeit p nach Laplace: p = \"Anzahl der günstigen Möglichkeiten\"/\"Anzahl der Möglichkeiten\" Wie schon festgestellt wurde, gibt es insgesamt 5! = 120 Möglichkeiten, 5 Briefe auf 5 Umschläge zu verteilen. Wie du festgestellt hast, treffen davon 10 Möglichkeiten zu. Also gilt: p = 10/120 = 1/12 Prinzipiell gilt bei dieser Aufgabe: \"Anzahl der günstigen Möglichkeiten\" gleich \"Anzahl der Möglichkeiten, n Briefe richtig einzuordnen\" mal \"Anzahl der Möglichkeiten, die restlichen Briefe falsch einzuordnen\". Ich fange jetzt einfach mal mit 5 richtigen an, denn so rum lässt sich das ganze am leichtesten nachvollziehen. Das Schema ist immer das gleiche: Bei 5 richtigen Briefen gibt es (5 über 5) Möglichkeiten, die Briefe richtig einzuordnen. Die falschen Möglichkeiten gibt es nicht, deshalb kannst du sie vernachlässigen. Daraus ergibt sich die Anzahl der günstigen Möglichkeiten: (5 über 5) = 1 Bei 4 richtigen Briefen gibt es (5 über 4) Möglichkeiten, die Briefe richtig einzuordnen. Aber es gibt keine Möglichkeiten, den letzten Brief falsch einzuordnen. Daraus ergibt sich die Anzahl der günstigen Möglichkeiten: (5 über 4) * 0 = 0 Bei 3 richtigen Briefen gibt es (5 über 3) Möglichkeiten, die Briefe richtig einzuordnen. Zu jeder dieser Möglichkeiten gibt es nur eine Möglichkeit, die verbleibenden Briefe falsch einzuordnen. Daraus ergibt sich die Anzahl der günstigen Möglichkeiten: (5 über 3) * 1 = 10 Bei 2 richtigen Briefen gibt es (5 über 2) Möglichkeiten, die Briefe richtig einzuordnen. Zu jeder dieser Möglichkeiten gibt es (3! - ((3 über 3) + (3 über 1))) Möglichkeiten, die verbleibenden Briefe falsch anzuordnen. Zur Erklärung: es gibt 3! Möglichkeiten, drei Briefe anzuordnen. Davon müssen die Möglichkeiten, bei denen mindestens ein Brief richtig ist, abgezogen werden. Daraus ergibt sich wieder die Anzahl der günstigen Möglichkeiten: (5 über 2) * (3! - ((3 über 3) + (3 über 1))) = 20 Bei einem richtigen Brief gibt es (5 über 1) Möglichkeiten, den Brief richtig einzordnen. Zu jeder dieser Möglichkeiten, gibt es (4! - ((4 über 4) + (4 über 2) + (2 über 1) * (4 über 1))) Möglichkeiten, die verbleibenden Briefe falsch einzuordnen. Zur Erklärung: wenn von den verbleibenden 4 Briefen einer richtig ist, gibt es zu jeder dieser Möglichkeiten wieder zwei Möglichkeiten, die verbleibenden 3 Briefe falsch einzuordnen. Daraus ergibt sich wieder die Anzahl der günstigen Möglichkeiten: (5 über 1) * (4! - ((4 über 4) + (4 über 2) + (2 über 1) * (4 über 1))) = 45 Um die Anzahl der Möglichkeiten für 0 richtige Briefe auszurechnen, zieht man einfach die Möglichkeiten für ein bis fünf richtige Briefe von der Gesamtanzahl der Möglichkeiten ab: 5! - (45 + 20 + 10 + 0 + 1) = 44 Daraus ergeben sich dann folgende Wahrscheinlichkeiten: P(\"0 von 5\") = 44/120 P(\"1 von 5\") = 45/120 P(\"2 von 5\") = 20/120 P(\"3 von 5\") = 10/120 P(\"4 von 5\") = 0/120 P(\"5 von 5\") = 1/120 |
| Manuel (68 Beiträge) am 09.01.2008 um 18:01 Uhr: |
Zitat: Die Überlegung ist folgende: Nimmt sie für den ersten Brief den richtigen Umschlag, so ist das ja gut. Nimmt sie den falschen, so ist das auch nicht schlecht, weil sie sowieso zwei falsch machen muss. Für den nächsten Brief dann besteht die Möglichkeit, dass sie ihn richtig macht, oder den falschen Umschlag vom ersten brief nimmt. So geht es immer weiter bis zum letzten Brief. Die Voraussetzung, die ich benötige dafür ist, dass wenn sie einen Brief falsch gemacht hat, der zweite falsche zwingend den Umschlag vom ersten falschen nehmen muss. |
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