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Thema: Die (Un)gleichung

Thema: Die (Un)gleichung
Jonas (Administrator, 334 Beiträge) am 14.12.2008 um 10:37 Uhr:
Gilt die Gleichung oder nicht?
Posten Sie Ihren Beweis oder Gegenbeweis hier!

peter (34 Beiträge) am 14.12.2008 um 12:11 Uhr:
Generell gilt für Perioden:

0,3 = 3/9 = 1/3

Man nimmt die einzelnen Ziffern der Periode (3) und teilt sie durch eine Zahl mit so vielen Stellen wie Ziffern der Periode und jede Stelle ist 9.

In dem Beispiel oben besteht die Periode aus 1 Ziffer, der 3.

Man nimmt also die Ziffer 3 und teilt sie durch die Zahl 9.

Im Falle des Rätsels besteht die Periode auch nur aus 1 Ziffer, der 9.

0,9 = 9/9 = 1

Daher stimmt diese Gleichung.

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Jonas (Administrator, 334 Beiträge) am 17.12.2008 um 11:38 Uhr:
Damit, dass die Gleichung stimmt, hast du schon mal vollkommen recht. Nur die Begründung gefällt mir noch nicht so ganz. Dass gilt:

0,3 = 1/3

wird wohl keiner bestreiten. Aber aus 9/9 wird wohl keiner 0,(Periode)9 machen, sondern es stehts zu 1 kürzen.

Versuch doch mal, mit den Perioden weiterzuarbeiten, bei denen dir keiner widersprechen kann. Außerdem gibt es auch eine Begründung, warum die Gleichung gelten muss, die komplett ohne andere Gleichungen auskommt.

peter (34 Beiträge) am 17.12.2008 um 14:32 Uhr:
Ok, zweiter Versuch:

1. Schritt:

0,3= 1/3


2. Schritt:

3*0,3= 0,9


3. Schritt:

3*1/3= 0,9 = 1

Das wäre zumindest auch ein Ansatz zur Bestätigung der Gleichung.

Eine Begründung wäre sonst noch, dass der Unterschied zwischen 1 und

0,9 unendlich klein wird und somit vernachlässigbar ist.

Jonas (Administrator, 334 Beiträge) am 17.12.2008 um 14:46 Uhr:
Ja, so kann man deiner Rechnung und der Begründung nicht mehr widersprechen.

Anders formuliert könnte die Begründung lauten: Wenn die beiden Zahlen unterschiedlich wären, dann müsste es Zahlen zwischen ihnen geben. Da das aber nicht der Fall sein kann, sind die beiden Zahlen identisch.

turbosachs (14 Beiträge) am 09.01.2011 um 18:32 Uhr:
die frage ist, bei welcher rechenoperation kommt als ergebnis 0,9
heraus?
gruss roger

TheVulcan (1 Beitrag) am 18.01.2018 um 00:33 Uhr:
Hm, die Lösungswege sind aber jeweils Zirkelschlüsse:

1. Lösungsweg: Man möchte, [math] 1=0.\bar{9} [/math] zeigen, erhält aus einer Äquivalenzumformung [math] \frac{1}{3}=0.\bar{3} [/math] und schliesst daraus auf [math] 1=0.\bar{9} [/math].

2. Lösungsweg: Die Zahlen sind gleich, weil es zwischen ihnen keine andere Zahlen gibt. Warum? Weil sie gleich sind? Das (zwischen ihnen gibt es keine andere reellen Zahlen) wäre ja gerade, was man zeigen müsste.

[math] 0.\bar{9} [/math] ist die Schreibweise für den Grenzwert der Folge [math] a_n = \sum_{k=1}^{n}{ \frac{9}{10^k} } [/math], man müsste also [math] \lim_{n \to \infty} a_n = 1 [/math] (z.B. mittels Epsilontik) zeigen.

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