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Thema: Dreiecke: Sierpinski trifft Pascal

Thema: Dreiecke: Sierpinski trifft Pascal
tsjstell (4 Beiträge) am 01.06.2008 um 13:50 Uhr:
Eine etwas anspruchsvollere Aufgabe zum Knobeln:

Wenn man ein Pascall`sches Dreieck nimmt und alle Zahlen einfärbt, die durch 2 (3,4,5,...) ohne Rest zu teilen sind, so ergibt sich jeweils ein Muster. Dieses ist nämlich immer ein Sierpinksi-Dreieck (also ein Fraktal).

Warum ergeben sich diese Muster? Lässt sich das beweisen?

leoliner (25 Beiträge) am 05.12.2012 um 16:23 Uhr:
vorab: ich habe KEINEN Beweis. :-(
ich knoble zwar gerne, aber ich habe schon beim Lesen in Wikipedia Schwierigkeiten gehabt, da was nachzuvollziehen, geschweige denn es zu beweisen... :???:

aber vielleicht helfen die beiden Wikipedia-Links jemanden weiter:
http://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck

auf der folgender Seite wird sogar auf den Zusammehang zum Pascalschen Dreieck hingewiesen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Sierpinski-Dreieck

Gruß, Leo :-)

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tsjstell (4 Beiträge) am 05.12.2012 um 20:16 Uhr:
Streng genommen ist es nur ein Sierpinski-Dreieck mit \"begrenzter Auflösung\". Beweisen lässt es sich - auch für Schüler nachvollziehbar (ich bin Lehrer). Ich habe zwar mal selbst mir die Beweise erarbeitet, aber bisher nirgendwo etwas dazu gefunden...

leoliner (25 Beiträge) am 06.12.2012 um 08:24 Uhr:
wie wäre es erstmal mal einfach ausgedrückt:
1) die Summe zweier Zahlen ist immer dann gerade, wenn entweder 2 gerade Zahlen oder 2 ungerade Zahlen addiert werden.
2) wenn ich alle Zahlen streiche, die sich durch was auch immer teilen lassen, fallen ergo alle geraden Zahlen weg, und es bleiben nur ungerade Zahlen übrig.
3) es bleiben somit nur die Zahlen stehen, die ungerade werden, weil die beiden Zahlen drüber 1x gerade (inklusive 0, für die Zahlen am Rand) und 1x ungerade sind. Somit ergibt sich das Lückemuster des Herrn Sierpinski.

so den mathematischen Beweis kann jetzt der nächste erbringen :-D
Gruß, Leo

saescha (69 Beiträge) am 31.05.2013 um 16:33 Uhr:
Hi,

Ich habe mal eine Seite erstellt mit der man diese Einfärbung vornehmen kann.

http://saescha.lima-city.de/fractal.html
Der Browser muss aber Canvas unterstützen. Also Firefox, Safari, Chrome, Opera, Internet Explorer 9 oder höher.
Tip: Mit den meisten Browsern kann man mit strg + mausrad zoomen

Für den Teiler 2 ergibt sich das Sierpinski Dreieck, für jede andere Primzahl p ein ähnliches Fraktal, nur dass die Höhe des Dreicks nicht halbiert sondern durch p geteilt wird.

Aber je mehr Teiler der gegebene Teiler hat, desto komplizierter wird das entstehende Fraktal zb sehe ich beim Teiler 30 kein Sierpinski Dreieck.

Der Beweis für ein allgemeinen Teiler wird also dementsprechend schwierig.

Viel Spass beim ausprobieren.

lg,
sascha

saescha (69 Beiträge) am 18.06.2013 um 15:12 Uhr:
Hier ein paar Bilder die ich erzeugt habe:

Für 2

Für 3


Für 4


Für 30