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Satz des Thales - Beweis

Teilt man das Dreieck im Thaleskreis durch die Strecke MC, so erhät man die beiden gleichschenkligen Dreiecke MCA und MBC mit der Schenkellänge r:

Da die Dreiecke gleichschenklig sind, sind die Basiswinkel gleich groß. Folglich wird γ in α und β aufgeteilt. Es gilt also:

$\gamma=\alpha+\beta$

Am Mittelpunkt des Thaleskreises M entstehen zwei neue Winkel. Ich habe sie δ und ε genannt. Aufgrund der Winkelsumme von 180° in einem Dreieck gilt:

$\delta=180^\circ-2\alpha$

$\varepsilon=180^\circ-2\beta$

δ und ε sind Supplementwinkel (d.h. sie ergänzen sich zu 180°). Folglich gilt:

$\delta+\varepsilon=180^\circ$

Setzt man nun die obrigen Terme für δ und ε ein, so erhält man folgende Beziehung zwischen α und β:

$180^\circ-2\alpha+180^\circ-2\beta=180^\circ$

$\Leftrightarrow360^\circ-2(\alpha+\beta)=180^\circ$

$\Leftrightarrow{2}(\alpha+\beta)=180^\circ$

$\Leftrightarrow\alpha+\beta=90^\circ$

Da, wie bereits gezeigt, γ die Summe aus α und β ist, gilt:

$\gamma=90^\circ$

Der Satz des Thales ist damit bewiesen - oder wie es der Mathematiker so schön ausdrückt:

q.e.d.

(steht für: "quod erat demonstrandum" = "was zu beweisen war")