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26. März 2012
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Linkweg: Home / Die Strahlensätze / Beweis des zweiten Strahlensatzes

Beweis des zweiten Strahlensatzes

Erweitere die gegebene Strahlensatzfigur um die Parallele durch den Punkt A zur Geraden durch S und B. Der Schnittpunkt dieser Paralleln mit der Geraden durch A' und B' sei C. Es entsteht eine Strahlensatzfigur, bei der sich die Strahlen in A' schneiden:

Nach dem ersten Strahlensatz gelten für diese Strahlensatzfigur

$\frac{|A'A|}{|SA'|}=\frac{|A'C|}{|A'B'|}$

sowie

$\frac{|A'A|}{|SA|}=\frac{|A'C|}{|CB'|}.$

Division der ersten durch die zweite Gleichung ergibt:

$\frac{|SA|}{|SA'|}=\frac{|CB'|}{|A'B'|}.$

Wegen

|CB'|=|AB|

gilt die erste Formel des zweiten Strahlensatzes:

$\frac{|SA|}{|SA'|}=\frac{|AB|}{|A'B'|}.$

Die zweite Formel des zweiten Strahlensatzes erhält man, wenn man analog die Parallele durch den Punkt B zur Geraden durch die Punkte S und A betrachtet.