Vom Zwölfeck zum Vieleck

In den folgenden Schritten macht man aus dem 12eck ein 24eck, aus dem 24eck ein 48eck, ...
Die Herleitung erfolgt immer nach dem gleichen Prinzip. Allgemein gilt:

$s_{n+1}=\sqrt{\frac{s_n^2}{4}+\left(r-\sqrt{r^2-\frac{s_n^2}{4}}\right)^2}$

s_n+1 ist die Länge einer Kante des Vielecks, das doppelt so viele Kanten hat wie das Vieleck mit der Kantenlänge s_n.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man r = 1 annehmen, denn Pi hängt nicht vom Radius des verwendeten Kreises ab:

$s_{n+1}=\sqrt{\frac{s_n^2}{4}+\left(1-\sqrt{1-\frac{s_n^2}{4}}\right)^2}$

Das Vieleck mit der Kantenlänge s_n hat 6 * 2ⁿ Ecken. Daraus lässt sich nun Pi in Abhängigkeit von n berechnen:

$U_{Kreis}=U_{Vieleck}$

$\Leftrightarrow{2\pi}=6\cdot{2^n}\cdot\sqrt{\frac{s_{n-1}^2}{4}+\left(1-\sqrt{1-\frac{s_{n-1}^2}{4}}\right)^2}$

$\Leftrightarrow{\pi}=3\cdot{2^n}\cdot\sqrt{\frac{s_{n-1}^2}{4}+\left(1-\sqrt{1-\frac{s_{n-1}^2}{4}}\right)^2}$

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