Der Mammutbaum

In der 1. Nacht schafft der Käfer 10/10000 des Baumstammes. In der 2. Nacht schafft er 10/10020 des Baumstammes. In der 3. Nacht schafft er 10/10040 des Baumstammes. Er hat die Spitze erreicht, wenn die Summe der Streckenanteile 1 erreicht. Nun hat man mehrere Möglichkeiten, das herauszufinden.

Man fasst die Summe als harmonische Reihe auf und verwendet eine Näherungsformel für diese:
$\frac{1}{1000}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1004}+\ldots+\frac{1}{2n}\geq{1}$

$\frac{1}{500}+\frac{1}{501}+\frac{1}{502}+\ldots+\frac{1}{n}\geq{2}$

$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_1^{499}\frac{1}{k}\geq{2}$
Für diese harmonische Reihe kann man folgende Näherungsformel (Quelle: Wikipedia) verwenden:
$\ln(n)+\gamma-(\ln(499)-\gamma)=\ln\left(\frac{n}{499}\right)\geq{2}$

$n\geq{499}e^2$
Damit ergibt sich für n ein Wert von ca. 3688, d.h. der Käfer benötigt für seine Reise etwa 3688-499 = 3189 Nächte.

Man verwendet ein Programm wie dieses PHP-Skript zur Lösungsfindung:

PHP-Code
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14:	<?php $baum = 1000; $nacht = 0; do { $nacht++; $kaefer += 1/$baum; $baum += 2; } while ($kaefer < 1); echo 'Der Käfer erreicht sein Ziel in der '.$nacht.'. Nacht'; ?>

Dieses liefert als Ergebnis, dass der Käfer 3192 Nächte braucht. Genau genommen kommt er irgendwann in der 3192. Nacht an der Spitze des Baumes an.