Die Leiter und die Kisten

Lösung

Es sei y die Höhe, in der die Leiter die Wand berührt und x der Abstand, den die Leiter am unteren Ende von der Wand hat. Der maximale Wert für y ergibt sich, wenn die Leiter die Kisten an einer Ecke berührt:

Skizze

Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich (I):

x^2+y^2=16

Oder umgeformt (II):

(x+y)^2-2xy=16

Ein zweiter Ansatz ergibt sich aus dem 2. Strahlensatz:

$\frac{x-1}{1}=\frac{1}{y-1}$

Oder umgeformt (III):

xy=x+y

Setzt man III. nun in I. ein, so erhält man:

(x+y)^2+2(x+y)=16

Daraus ergibt sich nach quadratischer Ergänzung für x+y:

$x+y=1\pm\sqrt{17}$

Da x und y positive Zahlen sind, kann man die negative Lösung ignorieren. Aus III. folgt nun:

$x=\frac{1+\sqrt{17}}{y}$

Setzt man diesen Ausdruck nun in I. ein, so erhält man:

$\frac{(1+\sqrt{17})^2}{y^2}+y^2=16$

Oder nach quadratischer Ergänzung:

$(y^2-8)^2=46-2\sqrt{17}$

Daraus ergibt sich für y²:

$y^2=8\pm\sqrt{46-2\sqrt{17}}$

Und für y:

$y=\pm\sqrt{8\pm\sqrt{46-2\sqrt{17}}}$

Da y maximal sein soll, gelten jeweils die positiven Wurzeln. Folglich beträgt y maximal ca. 3,76 m.