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26. März 2012
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Linkweg: Home / Matherätsel / Konservendosen / Lösung

Konservendosen

Lösung

Dieses Rätsel ist eine typische Minimierungsaufgabe, die sich mit Differentialrechnung lösen lässt:

Die Oberfläche eines Zylinders O_Z lässt sich mit folgender Formel berechnen:

$O_Z=2\pi{r^2}+2\pi{r}h$

Das Volumen V_Z lässt sich mit dieser Formel berechnen:

$V_Z=\pi{r^2}h$

Daraus ergibt sich für die Höhe des Zylinders in Abhängigkeit von V und r:

$h=\frac{V}{\pi{r^2}}$

Setzt man das in die Formel für die Oberfläche ein, so erhält man die Oberfläche des Zylinders bei einem festgelegten Volumen in Abhängigkeit vom Radius:

$O=2\pi{r^2}+\frac{2V}{r}$

Bildet man die erste Ableitung, so ergibt sich:

$\frac{dO}{dr}=4\pi{r}-\frac{2V}{r^2}$

Setzt man diese gleich Null, so erhält man r₀, den Radius, bei dem O minimal wird:

$r_0=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

Eingesetzt in O ergibt sich:

$O_{min}=2\pi\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2+\frac{2V}{\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}}$

Mit V = 500 ml ergibt sich: O_min ≈ 348,73 cm².