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Lösung: Konservendosen

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Lösung

Dieses Rätsel ist eine typische Minimierungsaufgabe, die sich mit Differentialrechnung lösen lässt:

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Die Oberfläche eines Zylinders OZ lässt sich mit folgender Formel berechnen:

O_Z = 2 \, \pi \, r^2 + 2 \, \pi \, r \, h

Das Volumen VZ lässt sich mit dieser Formel berechnen:

V_Z = \pi \, r^2 \, h

Daraus ergibt sich für die Höhe des Zylinders in Abhängigkeit von V und r:

h = \frac{V}{\pi \, r^2}

Setzt man das in die Formel für die Oberfläche ein, so erhält man die Oberfläche des Zylinders bei einem festgelegten Volumen in Abhängigkeit vom Radius:

O = 2 \, \pi \, r^2 + \frac{2 \, V}{r}

Bildet man die erste Ableitung, so ergibt sich:

\frac{dO}{dr} = 4 \, \pi \, r - \frac{2 \, V}{r^2}

Setzt man diese gleich Null, so erhält man r0, den Radius, bei dem O minimal wird:

r_0 = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \, \pi}}

Eingesetzt in O ergibt sich:

O_{\text{min}} = 2 \, \pi \, \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2 \, \pi}}\right)^2 + \frac{2 \, V}{\sqrt[3]{\frac{V}{2 \, \pi}}}

Mit V = 500 ml ergibt sich: Omin ≈ 348,73 cm2.