Die fallende Leiter

Lösung

Was bietet sich bei einer solchen Aufgabe wohl besser an, als die Leiter in ein Koordinatensystem zu zeichnen?

Koordinatensystem mit Leiter

Die Leiter bekommt also eine Funktionsgleichung in der Form f(x) = m·x+b zugewiesen. Die Schnittpunkte mit den Achsen liegen bei (0|b) und (-b/m|0).

Die Leiter habe die Länge l. Aufgrund des Satzes des Pythagoras ergibt sich also:

$b^2+\left(-\frac{b}{m}\right)^2=l^2$

$b=\frac{l}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}}$

Setzt man dieses b nun in die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion ein, so erhält man die Gleichung der Funktionsschar der fallenden Leiter in Abhängigkeit von m und l:

$f_{l,m}(x)=mx+\frac{l}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}}$

Der Mittelpunkt der Leiter liegt genau auf der Hälfte der Strecke zwischen den Schnittpunkten der Leitergeraden mit den Achsen. Folglich lassen sich die Koordinaten des Leitermittelpunkts bestimmen:

$x_l=\frac{-\frac{b}{m}}{2}=-\frac{\frac{l}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}}$

$y_l=\frac{b}{2}=\frac{\frac{l}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}}$

Stellt man die Gleichung für x_M nun nach m um und setzt dieses m in die Gleichung von y_M ein, so erhät man die Ortsfunktion des Mittelpunkts der Leiter y_l(x):

$m=\sqrt{\frac{l^2}{4x_l^2}-1}$

$y_l=\frac{l}{2\sqrt{1+\frac{1}{\frac{l^2}{4x_l^2}-1}}}=\sqrt{\frac{l^2}{4}-x_l^2}$

Diese Ortsfunktion ist eine Kreisfunktion, d.h. der Bleistift hinterlässt einen Strich in Form eines (Viertel)Kreises auf der Wand:

Leitern mit Ortskurve

Die schwarze Funktion ist die Ortskurve des Mittelpunktes der fallenden Leiter (y_l(x)), die grauen Funktionen sind einige Funktionen aus der Funktionsschar der Leiter (f_m,l(x)).