Die Prinzessin im See

Lösung

Die Prinzessin schwimmt ein Stück auf die Hexe zu. Dort angekommen beginnt sie, in konzentrischen Kreisen zu schwimmen. Dadurch gelingt es ihr, sich immer weiter von der Hexe zu entfernen, da ihre Winkelgeschwindigkeit höher ist als die der Hexe. Sobald sie die in dieser Konstellation größtmögliche Entfernung zur Hexe erreicht hat (die Prinzessin und die Hexe befinden sich auf einer geraden Linie, die durch den Teichmittelpunkt geht), schwimmt sie auf dem kürzesten möglichen Weg zum Ufer. Sie erreicht dadurch das Ufer vor der Hexe.

So weit die Theorie - es folgt der mathematische Beweis:

Die Winkelgeschwindigkeit der Prinzessin muss größer sein als die der Hexe (1):

$\omega_P>\omega_H$

Bis zu welchem Radius das möglich ist, lässt sich über folgenden Weg herausfinden:

$\omega=2\pi{f}=2\pi\frac{v}{r}$

Eingesetzt in (1) ergibt sich unter der Bedingung, dass die Hexe viermal so schnell läuft wie die Prinzessin schwimmt:

$2\pi\frac{\frac{1}{4}v_H}{r_P}>2\pi\frac{v_H}{r_H}\Rightarrow{r_P}<\frac{1}{4}r_H$

Wenn die Prinzessin sich also weniger als ein Viertel des Teichradius von der Mitte entfernt, kann sie den Abstand zwischen sich und der Hexe vergrößern.
Nun gilt es zu beweisen, dass die Prinzessin bei größtmöglicher Entfernung zur Hexe schneller am Ufer ist als diese:

t_P<t_H

Aus der vorher ausgerechneten Bedingung ergibt sich:

$\frac{r_H-r_P}{v_P}<\frac{\frac{1}{2}\cdot{2}\pi{r_H}}{v_H}\Rightarrow\frac{\frac{3}{4}r_H}{\frac{1}{4}v_H}<\frac{\pi{r_H}}{v_H}\Rightarrow{3}<\pi$

Wer nicht glaubt, dass Pi größer als 3 ist, möge sich bitte den Artikel Pi berechnen ansehen. Ansonsten gilt:

q.e.d.

("quod erat demonstrandum" = "was zu beweisen war")